Cauchyovo limitní odmocninové kritérium je v matematice kritérium konvergence nekonečné řady. Závisí na hodnotě
kde jsou členy řady a říká, že řada konverguje absolutně, jestliže tato hodnota je menší než jedna, a diverguje, pokud je větší než jedna. Limitní odmocninové kritérium je obzvláště užitečné pro mocninné řady.
Popis kritéria náhled|300px|Rozhodovací diagram pro Cauchyovo limitní odmocninové kritérium Toto kritérium konvergence řad navrhl Augustin Louis Cauchy a publikoval jej ve své učebnici Cours d’analyse (1821).. Překlad z italštiny Warren Van Egmond. Pro řadu
používá Cauchyovo kritérium hodnotu
kde „lim sup“ označuje limes superior, případně ∞+.Terrence Tichaona Dobbie (2017) Pokud konverguje výraz
pak se rovná C a tato hodnota může být použita jako kritérium konvergence.
Cauchyův kritérium říká, že: pokud C < 1, pak řada konverguje absolutně, pokud C > 1, pak řada diverguje, pokud C = 1 a limita se blíží striktně shora, pak řada diverguje, jinak je test nerozhodný (řada může divergovat, konvergovat absolutně nebo konvergovat podmíněně).
Existují řady, pro které C = 1 a řada konverguje, například a existují jiné, pro které C = 1 a řada diverguje, například .
Aplikace na mocninné řady Toto kritérium lze používat pro mocninné řady
kde koeficienty cn a střed p jsou komplexní čísla a argument z je komplexní proměnná.
Členy této řady jsou an = cn(z − p)n. Pak lze použít odmocninové kritérium na an, jako je uvedeno výše. Pamatujte, že někdy řada jako toto se nazývá mocninná řada "okolo p", protože poloměr konvergence je poloměr R největší interval nebo kruh se středem v p tak, že řada bude konverguje pro všechny body z striktně uvnitř (konvergence na hranici intervalu nebo obecně kruhu musí být zkontrolována odděleně). Důsledek odmocninového kritéria aplikovaný na takovou mocninnou řadu je, že poloměr konvergence je přesně , přičemž je ∞, pokud je jmenovatel 0.
Důkaz Důkaz konvergence řady Σan vychází ze srovnávacího kritéria. Pokud pro všechny n ≥ N (N nějaké pevné přirozené číslo) platí pak . Protože geometrická řada konverguje, pak podle srovnávacího kritéria konverguje i . Tedy Σan konverguje absolutně.
Pokud pro nekonečně mnoho n, pak an nekonverguje k 0, a tedy řada diverguje.
Důkaz důsledku: U mocninné řady Σan = Σcn(z − p)n jsme výše viděli, že řada konverguje, pokud existuje N takové, že pro všechna n ≥ N je
což je ekvivalentní s
pro všechna n ≥ N. Z toho plyne, že aby řada konvergovala, musí platit pro všechna dostatečně velká n. To je ekvivalentní s
takže Nyní jediné jiné místo, kde je možná konvergence, je pokud
(protože v bodech, kde > 1 bude řada divergovat), což poloměr konvergence nezmění, protože se jedná pouze o body ležící na hranici intervalu nebo kruhu, takže
Odkazy
Reference
Související články Řada (matematika) Kritéria konvergence řad D'Alembertovo kritérium Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence
Literatura
Kategorie:Kritéria konvergence Kategorie:Augustin Louis Cauchy
pl:Kryteria zbieżności szeregów#Kryterium Cauchy'ego