Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.
Definice
Základní definice pro přirozené exponenty Pokud je množina a přirozené číslo, pak kartézskou mocninou rozumíme - násobný kartézský součin množiny se sebou samou:
Speciálně pro dostáváme jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z , pro dostáváme jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z .
Obecná definice Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:
Kartézskou mocninou množin a rozumíme množinu všech zobrazení množiny do množiny .
Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici – všechny uspořádané dvojice z nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny ( nebo ) do . (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1… n} nebo {1,2… n} do této množiny.) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné .
Pokud vezmeme za množinu všech přirozených čísel , dostáváme kartézskou mocninu – tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny .
Příklad Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:
podle první definice je
podle druhé definice je
Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.
Užití Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny a ( jako je zde označována množina všech reálných čísel). Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině ) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině . Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny . Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny. Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina , na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení do (obecněji do , kde je arita konkrétní operace).
Související články Kartézský součin Kardinální aritmetika
Kategorie:Množinové operace a vlastnosti