V matematice je Jonedovo lemma pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem v teorii kategorií. Je to abstraktní tvrzení o funktorech druhu morfismy do daného objektu. Jde o značné zobecnění Cayleyho věty z teorie grup (pokud se grupa vezme jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze isomorfismy). Umožňuje vnoření libovolné kategorie do kategorie funktorů (kontravariantních funktorů nad množinami) definovaných nad touto kategorií. Také objasňuje, jak se vnořená kategorie reprezentovatelných funktorů a jejich přirozených transformací chová ve vztahu k ostatním objektům v celé kategorii funktorů. Jde o důležitý nástroj, který stojí za mnoha moderními výsledky v algebraické geometrii a teorii reprezentace. Je pojmenováno po Nobuovi Jonedovi (anglicky psáno Yoneda).
Obecniny Jonedovo lemma naznačuje, že místo zkoumání (lokálně malé) kategorie by se měla studovat kategorie všech funktorů z do (kategorie množin s funkcemi jako svými morfismy). Kategorie Set je považována za veskrze dobře pochopenou kategorii a funktor z do je možné chápat jako „reprezentaci“ pomocí známých struktur. Původní kategorie je v této kategorii obsažena, ale spolu s ní se zde objevují nové objekty, které v chyběly či byly „skryté“. Práce s těmito objekty často sjednocuje a zjednodušuje postup.
Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti je zobecněním) běžnému způsobu studia okruhů zkoumáním jejich modulů. Okruh nahradí kategorie a moduly nad tímto okruhem nahradí kategorie funktorů definovaných na .
Formální znění Jonedovo lemma se týká funktorů z dané kategorie do kategorie množin, . Je-li lokálně malá kategorie (tj. hom-sady jsou skutečně množiny, nikoliv vlastní třídy), pak každý objekt z dává vzniknout přirozenému funktoru do , zvanému hom-funktor. Tento funktor se značí:
.
Tento (kovariantní) hom-funktor zobrazí do množiny morfismů a morfismus na morfismus (složení s vlevo), který zobrazuje morfismus v na morfismus v . Konkrétně,
.
Nechť je libovolný funktor z do . Pak Jonedovo lemma říká, že: Zápis zde označuje kategorii funktorů z do .
Máme-li přirozenou transformaci z do , odpovídající prvek je ; dále máme-li prvek z , odpovídající přirozenou transformaci dostaneme z .
Kontravariantní verze Existuje kontravariantní verze Jonedova lemmatu, která se týká kontravariantních funktorů z do . Tato verze zahrnuje kontravariantní hom-funktor
který zobrazuje na hom-sadu . Pro libovolný kontravariantní funktor z do Jonedovo lemma říká, že
Ustálené názvosloví Použití pro kovariantní hom-funktor a pro kontravariantní hom-funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků používá přesně opačné značení nebo úplně jiné symboly. Poslední moderní texty algebraické geometrie počínaje zakladatelskou EGA Alexandra Grothendiecka ovšem používají stejnou konvenci jako tento článek.
Mnemotechnické „padání do něčeho“ může být užitečné pro zapamatování, že je kontravariantní hom-funktor. Když písmeno klesá (je použito jako dolní index), přiřadí k objektu morfismy z do .
Důkaz Důkaz Jonedova lemmatu je vystižen následujícím komutativním diagramem: střed| Důkaz Jonedova lemmatu Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace je zcela určena , protože pro každý morfismus máme
.
Navíc jakýkoli prvek tímto způsobem definuje přirozenou transformaci. Důkaz v kontravariantním případě je zcela analogický.
Jonedovo vnoření Důležitým zvláštním případem Jonedova lemmatu je, když je funktor z do dalším hom-funktorem . V tomto případě kovariantní verze Jonedova lemmatu říká, že
Tedy že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenci s morfismy (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Máme-li morfismus , přidružená přirozená transformace se značí .
Pokud zobrazíme každý objekt v na přidružený hom-funktor a každý morfismus na odpovídající přirozenou transformaci , určíme tím kontravariantní funktor z do , kategorie funktorů všech (kovariantních) funktorů z do . se dá interpretovat jako kovariantní funktor :
Význam Jonedova lemmatu za těchto okolností je, že funktor je plně věrný, a proto určuje vnoření do kategorie funktorů do . Sada všech funktorů je podkategorií . Z Jonedova vnoření tedy vyplývá, že kategorie je izomorfní ke kategorii .
Kontravariantní verze Jonedova lemmatu říká, že
Proto dává vzniknout kovariantnímu funktoru z do kategorie kontravariantních funktorů do :
Jonedovo lemma pak říká, že každá lokálně malá kategorie může být vnořena do kategorie kontravariantních funktorů z do skrz . Tomuto se říká Jonedovo vnoření.
Jonedovo vnoření je někdy označováno znakem よ, což je kana v rámci písma Hiragana, Jo.
Reprezentovatelný funktor Jonedovo vnoření v zásadě uvádí, že pro každou (lokálně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii reprezentovány pomocí předsvazků, a to plně a věrně. Jinými slovy,
pro nějaký předsvazek P. Mnoho běžných kategorií jsou ve skutečnosti předsvazky, ba po důkladnějším prozkoumání dokonce svazky, a jelikož takové případy mají obvykle topologickou povahu, lze je obecně považovat za toposy. Jonedovo lemma pak představuje nástroj, pomocí něhož lze topologickou strukturu kategorií zkoumat.
Z hlediska (ko)koncového kalkulu Pro dvě kategorie a se dvěma funktory lze přirozené transformace mezi nimi zapsat jako následující konec:
Pro všechny funktory a jsou následující vzorce jiná znění Jonedova lemmatu.
Preaditivní kategorie, okruhy a moduly Preaditivní kategorie je kategorie, v které sady morfismů tvoří abelovské grupy a skládání morfismů je bilineární; příkladem jsou kategorie abelovských grup nebo modulů. V preaditivní kategorii existuje jak „násobení“, tak „sčítání“ morfismů, a proto jsou preaditivní kategorie vnímány jako zobecnění okruhů. Okruhy jsou preaditivní kategorie s jedním objektem.
Jonedovo lemma je pravdivé i pro preaditivní kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii aditivních kontravariantních funktorů z původní kategorie do kategorie abelovských grup. Jedná se o funktory, které jsou kompatibilní se sčítáním morfismů, a lze je brát jako základ kategorie modulů nad původní kategorií. Jonedovo lemma pak poskytuje přirozený recept, jak zvětšit preaditivní kategorii tak, aby tato zvětšená verze zůstala preaditivní – ve skutečnosti je zvětšená verze abelovskou kategorií, což je mnohem silnější vlastnost. V případě okruhu je rozšířená kategorie kategorií všech pravých -modulů a znění Jonedova lemmatu se redukuje na známý isomorfismus:
pro všechny pravé -moduly .
Vztah ke Cayleyově větě Jak bylo uvedeno výše, Jonedovo lemma může být považováno za značné zobecnění Cayleyovy věty z teorie grup. Aby to bylo zřejmé, nechť je kategorie s jediným objektem s tím, že každý morfismus je izomorfismus (tj. grupoid s jediným objektem). Pak tvoří grupu pod operací skládání a jakoukoli grupu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.
V tomto kontextu kovariantní funktor sestává z množiny a grupového homomorfismu , kde je grupa permutací ; čili je G-sada . Přirozená transformace mezi takovými funktory je to samé jako ekvivariantní zobrazení mezi -sadami: množinová funkce s tou vlastností, že pro všechna v a v . (Na levé straně rovnice označuje akci na a na pravé straně akci na .)
Nyní, kovariantní hom-funktor odpovídá akci na sobě samé podle násobení vlevo (kontravariantní verze odpovídá násobení vpravo). Jonedovo lemma pro říká, že
,
to jest, ekvivariantní zobrazení z této -sady na sebe jsou v bijekci s . Jde si však povšimnout, že a) tato zobrazení tvoří grupu podle skládání, což je podgrupa a b) funkce, která tuto bijekci určuje, je grupový homomorfismus. (V opačném směru každé v odpovídá ekvivariantnímu zobrazení násobení vpravo podle .) Takže je izomorfní k nějaké podgrupě , což je přesné znění Cayleyovy věty.
Historie Jošiki Kinošita v roce 1996 řekl, že termín „Jonedovo lemma“ začal používat Saunders Mac Lane po rozhovoru s Jonedou.
Odkazy Poznámky
Reference
Yoneda lemma na nLab
Související články Reprezentační věta
Externí odkazy Důkaz v systému Mizar: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf
Kategorie:Teorie kategorií Kategorie:Matematické věty a důkazy