Hustota pravděpodobnosti (hustota rozdělení pravděpodobnosti, hp) v teorii pravděpodobnosti je funkce, jejíž integrací na kterémkoli vzorku (podmnožině prostoru elementárních jevů) vyjde relativní pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné by se rovnala tomuto vzorku. Hodnota hustoty pravděpodobnosti ve dvou různých vzorcích spojité náhodné proměnné může být při libovolném náhodném pokusu použita k porovnání, o kolik pravděpodobnější je, že náhodná proměnná by se rovnala jednomu vzorku ve srovnání s druhým vzorkem. Přitom absolutní pravděpodobnost, že spojitá náhodná proměnná nabyde přesně jakékoli konkrétní hodnoty je 0, protože existuje nekonečná množina možných hodnot, které mohou nastat. (Pro spojitou náhodnou veličinu také obecně neplatí, že i její hustota pravděpodobnosti je spojitá.)
Hp se používá ke stanovení pravděpodobnosti , že náhodná proměnná spadá do určitého intervalu hodnot namísto libovolné jediné hodnoty. Tato pravděpodobnost je určena integrálem hp této proměnné nad uvedeným rozsahem, který si lze představit jako plochu ohraničenou funkcí hustoty a vodorovnou osou, a mezi nejnižší a nejvyšší hodnotou daného intervalu. Funkce hustoty pravděpodobnosti je všude nezáporná a její integrál v celém prostoru je roven 1.
Termín funkce rozdělení pravděpodobnosti se může vztahovat i na kumulativní distribuční funkci, nebo se může jednat spíše o pravděpodobnostní funkci než hustotu. Samostatný termín funkce hustoty se také používá pro funkci pravděpodobnosti, což vede k dalšímu zmatku.Ord, J.K. (1972) Skupiny distribucí četnosti, Griffin. (například tabulka 5.1 a příklad 5.4)
Obecně se v kontextu diskrétních náhodných proměnných (náhodných proměnných, které berou hodnoty na spočetné množině) používá termínu pravděpodobnostni funkce, zatímco hustota pravděpodobnosti (hp) se používá v souvislosti se spojitými náhodnými proměnnými.
Definice Je-li hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny , pak platí , kde je definiční obor veličiny . Pro hodnoty mimo definiční obor je hustota pravděpodobnosti nulová, takže pro .
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti je možné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina nabývá hodnotu z intervalu , tedy
Vlastnosti Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá určité (přesně dané) hodnoty, je nulová, což plyne z definice výše. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy
Na rozdíl od pravděpodobnosti může funkce hustoty pravděpodobnosti nabývat hodnoty větší než jedna. Například rovnoměrné rozdělení na intervalu [0, ½] má hustotu pravděpodobnosti f(x) = 2 pro 0 ≤ x ≤ ½ a f(x) = 0 v ostatních případech.
Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti a distribuční funkcí platí vztah , pokud derivace distribuční funkce v daném bodě existuje.
Standardní normální rozdělení má hustotu pravděpodobnosti
Související články Rozdělení pravděpodobnosti Distribuční funkce
Reference
Kategorie:Rozdělení pravděpodobnosti Kategorie:Teorie pravděpodobnosti