Geometrické zobrazení je zobrazení (funkce) mezi množinami bodů, typicky , které každému bodu přiřazuje právě jeden bod.
V případě zobrazení v rovině přiřazuje každému bodu roviny právě jeden bod téže roviny.
Bod se nazývá vzor a bod jeho obraz. Bod, pro který platí , se nazývá pevný bod.
Vlastnosti a příklady zobrazení Přiřazení bodů lze formálně zapsat jako . Obecně neplatí, že z plyne .
Příklady geometrických zobrazení: identita – zobrazení, které každý bod ponechá beze změny, konstantní zobrazení – všem bodům přiřazuje jeden pevně daný bod, zobrazení, které pootočí body uvnitř dané oblasti (např. kruhu) a ostatní body ponechá beze změny, zobrazení dané předpisem v souřadnicích, např. .
Klasifikace geometrických zobrazení Podle zachovávaných vlastností Podle vlastností, které se při geometrickém zobrazení zachovávají, lze zobrazení rozdělit na:
shodné zobrazení – zachovává vzdálenosti (a tedy i tvar a velikost); patří sem např. posunutí a rotace, podobné zobrazení – zachovává tvar, nikoli nutně velikost; např. stejnolehlost, afinní zobrazení – zachovává rovnoběžnost přímek, projektivní zobrazení – zachovává kolineárnost bodů, topologické zobrazení – zachovává topologické vlastnosti (např. spojitost).
Podle dimenze prostoru Geometrická zobrazení lze také rozdělit podle dimenze prostoru, v němž jsou definována, a podle toho, zda mají vzor a obraz stejnou dimenzi.
Dimenze vzoru i obrazu jsou stejné zobrazení na přímce, zobrazení v rovině, zobrazení v prostoru, vícerozměrná zobrazení.
Dimenze vzoru a obrazu jsou různé např. projektivní zobrazení, která zahrnují metody jako rovnoběžné promítání, axonometrie nebo perspektiva, používané např. v deskriptivní geometrii.
Samodružný (pevný) bod Bod se nazývá samodružný (též pevný bod), pokud se při zobrazení nezmění, tj. .
Například: při osové souměrnosti jsou samodružné všechny body ležící na ose souměrnosti, při rotaci je samodružným bodem střed otáčení, při posunutí nemá zobrazení žádný samodružný bod (pokud nejde o identitu).
Invariantní množina Množina bodů se nazývá invariantní, jestliže se jako celek zobrazí sama na sebe, tj. .
Invariantní množina nemusí být tvořena pouze samodružnými body; její jednotlivé body se mohou vzájemně zobrazovat jeden na druhý.
Samodružná přímka Rozlišují se dva případy: bodově samodružná přímka – každý její bod je samodružný, tj. pro každý bod platí ; příkladem je osa osové souměrnosti, invariantní přímka – přímka se jako celek zobrazí sama na sebe, ale její body se obecně zobrazují na jiné body téže přímky; příkladem je přímka kolmá k ose při osové souměrnosti nebo přímka procházející středem stejnolehlosti.
Involutorní zobrazení Má-li zobrazení vlastnost, že pro dvojici bodů platí a současně , tvoří body involutorní dvojici.
Zobrazení, které není identita a při němž každý bod patří do involutorní dvojice, se nazývá involutorní zobrazení (involuce).
Složení involuce se sebou samou dává identitu. Příkladem jsou souměrnosti v rovině a prostoru, např. zrcadlení.
Reference
Související články Zobrazení (matematika) Geometrie
Externí odkazy
Kategorie:Geometrie