Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v eukleidovské rovině) pomocí délek jeho stran.
Pokud 3 kladná čísla splňují trojúhelníkovou nerovnost, existuje v eukleidovské rovině (podle věty sss) až na polohu a orientaci jediný trojúhelník s těmito délkami stran. Takže je jednoznačně určen i jeho obsah a ten musí být tedy funkcí stran. Ta musí být obecně symetrická a kvadraticky homogenní a H. v. ukazuje, jak přesně vypadá. Je to druhá odmocnina z jistého symetrického polynomu 4. stupně třech proměnných.
Vzorec Jsou-li délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah
kde je poloviční obvod trojúhelníku.
Důkaz Heronův vzorec lze elementárně odvodit pomocí Pythagorovy věty.
Ostroúhlý trojúhelník rozdělíme výškou na dva pravoúhlé.
Soubor:Heronuv_vzorec_small.png Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:
Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:
Z tohoto vztahu vyjádříme x:
Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem, což nevadí, protože potřebujeme jen druhou mocninu x. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:
Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku
dostaneme
Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:
Dosadíme poloviční obvod s,
a dostáváme výsledný vzorec:
Q.E.D.
Historie Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.http://mathworld.wolfram.com/HeronsFormula.html
Poznámky Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty nebo věty o polovičních úhlech.
Díky trojúhelníkové nerovnosti jsou všechny činitele odmocněnce H. v. kladné.
Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.
Z nerovnosti mezi aritmetickým a geometrickým průměrem a Heronova vzorce plyne, že ze všech trojúhelníků s daným obvodem má největší obsah ten rovnostranný.
Reference
Související články Trojúhelník Obsah Tětivový čtyřúhelník
Externí odkazy
důkaz Heronova vzorce
Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Trojúhelník