vpravo|náhled| Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s obsahy čtverců nad odvěsnami a přeponou, které tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem - poměrem zlatého řezu . Keplerův trojúhelník je pravoúhlý trojúhelník s délkami stran které tvoří geometrickou posloupnost. Kvocient této posloupnosti je , kde je hodnota poměru zlatého řezu. Hodnota . Posloupnost velikostí stran lze zapsat: , nebo přibližně 1 : 1,272: 1,618. Obsahy čtverců nad stranami tohoto trojúhelníku tvoří také v geometrickou posloupnost s kvocientem tj. poměrem zlatého řezu.
Pythagorova věta a zlatý řez v trojúhelníku Trojúhelníky s takovými poměry jsou pojmenovány po německém matematikovi a astronomovi Johannu Keplerovi (1571–1630), který jako první popsal, že v tomto trojúhelníku je poměr mezi jeho přeponou a kratší odvěsnou rovný zlatému řezu. Keplerův trojúhelník kombinuje Pythagorovu větu a zlatý řez. To Keplera hluboce fascinovalo, řekl: https://cs.wikiquote.org/wiki/Johannes_Kepler
Odvození Skutečnost, že trojúhelník se stranami , a , tvoří pravoúhlý trojúhelník, vyplývá přímo ze vztahu kvadratické rovnice určující hodnotu zlatého řezu :
do podoby Pythagorovy věty:
Sestrojení Keplerova trojúhelníku náhled| Metoda pro konstrukci Keplerova trojúhelníku pomocí zlatého obdélníku Keplerův trojúhelník lze Eukleidovsky sestrojit, tak že nejprve vytvoříte tzv. zlatý obdélník:
Sestrojte čtverec o straně jednotkové velikosti. Narýsujte úsečku ze středu jedné strany čtverce do protilehlého vnitřního úhlu čtverce. Tuto úsečku použijte jako poloměr k nakreslení oblouku, který určí výšku obdélníku. Dokončete sestrojení zlatého obdélníku. Narýsujte oblouk s poloměrem delší strany zlatého obdélníku. V místě, kde protíná oblouk protilehlou stranu obdélníku, je určena přepona Keplerova trojúhelníku.
Využití k přibližné rektifikaci kružnice alt=construction|náhled|160x160pixelů| Zajímavá matematická náhoda: Kruh a čtverec mají přibližně stejný obvod Pokud v Keplerově trojúhelníku se stranami sestrojíme kružnici opsanou a čtverec se stranou o velikosti větší odvěsny, pak se obvody čtverce ( ) a kruhu ( ) téměř shodují. Rozdíl je menší než 0,1%.
Jedná se o matematickou náhodu (koincidenci) . Tento čtverec a kruh nemohou mít úplně stejný obvod, protože v takovém případě by byl člověk schopen vyřešit klasický (nemožný) problém kvadratury kruhu. Jinými slovy, , není to totiž euklidovsky konstruovatelné, ale transcendentní číslo.
Reference
Externí odkazy
Kategorie:Johannes Kepler Kategorie:Elementární geometrie