náhled|Schematické znázornění kvantového měření. Částice se spinem vlétávají mezi dva magnety, které vychýlí dráhu částice v závislosti na hodnotě jejího spinu.
Pojmem kvantové měření () se ve fyzice označuje proces, který představuje kvantové zobecnění pojmu měření z klasické fyziky. Kvantové měření se vyznačuje několika specifiky, která přispívají k neintuitivnímu chování kvantových systémů.
Klasické chápání přírody říká, že každý fyzikální systém lze popsat pomocí jistého počtu různých fyzikálních veličin. Hodnoty těchto veličin se mohou s časem měnit, jsou v každém okamžiku pevně určené a měření je tu od toho, aby tyto hodnoty sdělilo pozorovateli. Jsou to pak právě tyto naměřené hodnoty, které vstupují do teoretického popisu, jakým může být například pohybová rovnice. V kvantové teorii tomu tak není. Proces měření je pevně zakotven v samotné teorii a nejen naměřené hodnoty, ale i samotný proces měření, hrají důležitou roli při popisu časového vývoje systému. Hovoříme v tomto případě o kvantovém měření. Kvantové měření se řídí jistými zákonitostmi, které nejsou totožné s pojetím známým z klasické fyziky. Tak například může totéž měření provedené na tomtéž systému dávat pokaždé různé hodnoty a samotný proces měření může navíc změnit původní stav měřeného systému.
Schematicky je příklad jednoduchého kvantového měření znázorněn v animaci napravo, kde částice se spinem 1/2, jakými jsou třeba elektrony, vlétávají mezi dva magnety. Tyto vychýlí dráhu každé částice v závislosti na hodnotě jejího spinu. Pokud spin míří doleva, je částice detekována levým detektorem. Podobně, pokud je spin orientovaný doprava, dolétne částice do pravého detektoru. Pokud však spin míří vzhůru, dochází k čistě kvantovému chování. Spin vzhůru je kvantovou superpozicí spinu doleva a spinu doprava. Po průletu magnetem je tak částice vychýlena oběma směry a až těsně do okamžiku zaregistrování částice detektorem není jisté, kudy částice letí. V animaci nakonec dopadne částice do levého detektoru, kdy dojde k redukci vlnové funkce částice. Se stejnou pravděpodobností ale mohla tato částice skončit v detektoru pravém.
Z hlediska formálního matematického popisu lze stav daného fyzikálního systému popsat pomocí jisté vlnové funkce či operátoru hustoty. Operátor hustoty představuje veškerou informaci, kterou lze o daném systému nejrůznějšími měřeními získat. Kvantové měření samotné lze pak vyjádřit ve formě lineárních operátorů, které působí na operátor hustoty a splňují dodatečné, fyzikálně motivované, požadavky. Jedním z těchto požadavků je například to, že naměřené hodnoty jsou reálná čísla (ne komplexní). Operátor přidružený ke konkrétnímu kvantovému měření obsahuje nejen údaje o možných naměřitelných hodnotách odpovídající veličiny, ale i změny stavu, které proces měření doprovázejí.
Motivace
Specifika kvantového měření
náhled|Výsledky měření v kvantové fyzice závisejí na nastavení měřicího přístroje. První přístroj měří kombinaci barev, ze kterých lze namíchat zelenou, a dává tak dva možné výsledky, modrou anebo žlutou, se stejnou pravděpodobností 50 %. Druhý přístroj měří kombinaci barev, jež obsahuje přímo zelenou barvu. V tomto případě přístroj naměří zelenou barvu se 100% pravděpodobností. Pro podrobnosti viz text vlevo.
Pro ilustraci základních rozdílů mezi tím, jak je měření chápáno v klasické a kvantové fyzice, použijeme příkladu barevné kuličky. V klasické fyzice má kulička jednu konkrétní barvu. I když je kulička uložena v tmavé místnosti a my ji nevidíme, můžeme vždy tvrdit, že kulička má nějakou pevně danou barvu a my pouze nevíme jakou. Pod pojmem "měření" rozumíme v klasické fyzice pouze to, že se podíváme na kuličku v osvětlené místnosti a tím zjistíme její barvu. Pokud bychom mohli kuličce pokládat otázky, odpovídalo by změření její barvy otázce: "Jakou máš barvu?"
Podobnou otázku v kvantové fyzice položit nelze. Místo toho se musíme ptát na konkrétní barvy. Možnými otázkami by tak mohlo být: "Jsi oranžová, zelená, anebo fialová?", "Jsi červená, žlutá, anebo modrá?", apod. Kvantové měření barevné kuličky by mohlo probíhat tak, že kuličku pošleme do měřicího přístroje a na tomto přístroji předem nastavíme, na jakou kombinaci barev má být citlivý, viz obrázek vpravo. Pokud si za kombinaci zvolíme trojici (modrá, červená, žlutá), pak je výsledkem měření jedna z těchto tří barev. Vždy přitom padne jen jedna z těchto tří možností, a to obecně bez ohledu na to, jakou barvu kulička přesně má. Kdyby měla kulička například barvu zelenou, jak je vyznačeno na obrázku, padl by s 50% pravděpodobností výsledek 'modrá' a s 50% pravděpodobností výsledek 'žlutá', protože zelenou barvu lze dostat smícháním stejného podílu modré a žluté barvy. Kdybychom si však za měřenou kombinaci barev zvolili trojici (oranžová, zelená, fialová), dostali bychom pro zelenou kuličku vždy výsledek 'zelená' a nikdy výsledky 'oranžová' či '̈́fialová'. Výsledky a pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot tedy závisejí na kombinaci barev, které si dopředu na svém přístroji navolíme. V terminologii kvantové fyziky bychom danou barevnou kombinaci nazvali pojmem báze. Jednotlivá měření kuličky pro různou volbu barevné kombinace bychom označili jako měření v různých bázích.
Ačkoli není dopředu jisté, jaký výsledek na kvantovém objektu naměříme, neznamená to, že získané výsledky jsou naprosto náhodné. Některé výsledky mohou být pravděpodobnější než jiné. Pokud stejné měření mnohokrát zopakujeme, můžeme z jednotlivých naměřených hodnot spočíst odpovídající průměr. Vyprůměrováním naměřených hodnot původní nejednoznačnost ve výsledku měření vymizí. Tyto průměry pak nesou užitečnou informaci o měřených fyzikálních veličinách.
Dalším rozdílem kvantového měření oproti tomu klasickému je fakt, že samotné měření mění stav měřeného systému. V případě zelené kuličky uvažované výše, kterou jsme poslali do přístroje měřícího kombinaci (modrá, červená, žlutá), bychom tak dostali z přístroje buď kuličku modrou (pokud by přístroj ukázal hodnotu 'modrá'), anebo kuličku žlutou (pokud by přístroj ukázal hodnotu 'žlutá'). Kdybychom nyní na tuto změněnou kuličku aplikovali tentýž přístroj, který měří tutéž kombinaci barev, k žádné další změně by už nedošlo. Pro modrou kuličku by přístroj naměřil hodnotu 'modrá' a vrátil by modrou kuličku. Pro žlutou kuličku by přístroj naměřil hodnotu 'žlutá' a vrátil by opět žlutou kuličku. V kvantové fyzice je tato vlastnost vyjádřena pomocí tak zvaných projektorů.
Co se stane, zvolíme-li si za kombinaci barev dvojici (červená, žlutá) a do přístroje pošleme modrou kuličku? Modrou barvu nelze dostat smícháním barev červené a žluté, znamená to tedy, že přístroj nenaměří nic? Ne, neznamená. Jednou z podmínek, které musí kvantové měření splňovat, je to, že navolená kombinace musí obsahovat barvy, s jejichž pomocí lze namíchat všechny barvy ostatní. Dvojice (červená, žlutá) tedy nepředstavuje dovolenou kombinaci barev. Díky této podmínce máme zaručeno, že náš přístroj vždy naměří jednu z předem zadaných barev. V terminologii kvantové fyziky se této podmínce říká relace úplnosti.
Naměřené hodnoty a pravděpodobnosti
náhled|Vertikálně polarizovaný paprsek procházející polarizačním filtrem v popředí je tím více blokován, čím více je filtr natočený do horizontální polohy. Přesný vztah mezi intenzitou vstupního a výstupního paprsku je dán Malusovým zákonem.
Abychom motivovali definici projektivního měření uvedenou níže, představíme si v této sekci na velmi jednoduchém příkladu, jaké požadavky na měření klademe. Uvažme nejprve klasický paprsek světla, který posíláme skrz polarizační filtr. Filtr propustí jen tu část paprsku, která je lineárně polarizovaná podél jisté osy, viz animace napravo. Předpokládejme navíc, že onen vstupní paprsek je již lineárně polarizovaný, akorát podél jiné osy, než je osa filtru. Označíme-li si intenzitu vstupního paprsku symbolem a podobně intenzitu paprsku procházejícího filtrem symbolem , lze jejich vztah vyjádřit následovně
kde je vzájemné natočení os polarizace filtru a vstupního paprsku. Tento vztah byl objeven dávno před vznikem kvantové teorie a jmenuje se Malusův zákon. Polarizaci světla lze vyjádřit jednotkovým dvourozměrným vektorem , jenž směřuje ve směru polarizace. Pokud je polarizace vstupního paprsku určena vektorem a osa polarizačního filtru směřuje ve směru vektoru , lze Malusův zákon přepsat do tvaru
kde je skalární součin vektorů a . Dosud šlo pouze o klasickou fyziku. Kvantová fyzika popisuje světelné paprsky jako shluky fotonů. Místo intenzity světla tak lze hovořit o počtu fotonů, které prolétnou filtrem. Malusův zákon tak přejde do vztahu mezi počátečním a výsledným počtem fotonů
Z celkového počtu fotonů jich tedy filtrem prolétlo pouze . Každý z těchto fotonů měl tedy šanci ku , že prolétne. Jinými slovy, každý foton prolétl s pravděpodobností . Z výše uvedeného vztahu pak plyne, že je tato pravděpodobnost dána výrazem
Tento vztah je již velmi blízký obecnému vzorci pro výpočet pravděpodobností v kvantové fyzice, který se nazývá Bornovo pravidlo.
Ačkoli jsme to dosud výslovně nezmínili, platí ještě jedna, naprosto samozřejmá, věc: každý foton buď projde filtrem, anebo neprojde. Pravděpodobnost toho, že foton projde, plus pravděpodobnost toho, že neprojde, tedy musí dát jedničku. Pokud je filtr natočen do vertikální polohy, projde jím foton s jistou pravděpodobností , která je závislá na počáteční polarizaci fotonu. S doplňkovou pravděpodobností tedy foton filtrem neprojde. Dohromady tak musí platit
kterýžto vztah lze chápat jako důsledek relace úplnosti.
Výsledné stavy
náhled|První polarizátor vyfiltruje z původního paprsku jen vertikální polarizaci. Přidáme-li další polarizátor natočený stejně jako ten první, tak k žádnému dalšímu vyfiltrování nedochází a světlo se dál šíří ve vertikální polarizaci. Natočíme-li však druhý polarizátor do horizontální polohy, neprochází jim dále již žádné světlo.
Kromě pravděpodobností, s jakými foton projde či neprojde filtrem, lze studovat i výslednou polarizaci těchto fotonů. Bez ohledu na to, jaká byla původní polarizace fotonu, je jeho polarizace po průchodu filtrem plně určena osou filtru. Pro jednoduchost předpokládejme, že je filtr natočen tak, že propouští pouze vertikálně polarizované světlo. Označme si polarizační filtr natočený do vertikální polohy symbolem a počáteční polarizaci fotonu symbolem . Pak z právě uvedeného tvrzení platí, že
kde označuje vertikální polarizaci. Pokud dále za první polarizační filtr umístíme druhý polarizační filtr, který také propouští pouze vertikální polarizaci, je přirozené očekávat, že druhý filtr už nemá na procházející světlo žádný vliv, viz obrázek napravo. Vskutku, ze vzorce výše plyne, že dvojnásobná aplikace filtru dá stejný výsledek, jako aplikace jediná
Protože tento vztah platí pro jakoukoli vstupní polarizaci , musí tento vztah platit i pro zobrazení samotné
Pokud naopak natočíme osu druhého fitru tak, že propouští pouze horizontální polarizaci, tak jím již žádné světlo neprojde. Všechno vertikálně polarizované světlo, které vychází z prvního filtru, je tím druhým totiž zcela blokováno. Pokud si polarizační filtr natočený do horizontální polohy označíme symbolem , lze právě uvedené tvrzení vyjádřit vztahem
Úlohu polarizačních filtrů a plní v kvantové teorii lineární operátory. Jak bylo uvedeno výše, aplikujeme-li dvakrát po sobě tentýž filtr, je výsledná polarizace stejná, jako kdybychom aplikovali tento filtr jen jednou. Neboli a . Operátorům, které splňují tuto vlastnost, se říká projektory. Dále jsme viděli, že pokud po filtru aplikujeme hned filtr , jehož osa je kolmá (neboli ortogonální) k ose filtru prvního, nedostaneme na konci žádné světlo. V symbolech: . Projektorům, které splňují tuto vlastnost, se říká ortogonální projektory.
Tato krátká diskuze s polarizovanými fotony a dvěma polarizačními filtry nás vede k obecné definici kvantového měření, tak jak je podáno v následující sekci.
Projektivní měření
Definice