Riemannova varieta (též riemannovský prostor nebo riemannův prostor) je hladká varieta, na které je v každém bodě definován skalární součin tečných vektorů a je vybavená kladně definitním metrickým tenzorem, který umožňuje definovat délky křivek, úhly mezi tečnými vektory, plochy a další geometrické vlastnosti prostoru.

Riemannovy variety jsou základním objektem riemannovské geometrie. Mezi jejich speciální případy patří eukleidovský prostor, sféra se sférickou geometrií nebo hyperbolický prostor.

Zobecněním Riemannovy variety je pseudo-riemannovská varieta, jejíž metrický tenzor není kladně definitní. Pseudo-riemannovské variety hrají významnou roli v obecné teorii relativity, kde slouží jako matematický model časoprostoru.

Definice

Riemannova varieta je dvojice kde je hladká varieta a kladně definitní metrický tenzor na .

Metrika v každém bodě určuje skalární součin vektorů tečného prostoru . Je-li metrický tenzor a , dva vektory, pak je jejich skalární součin dán vztahem

Metrický tenzor je symetrický, a kladně definitní, tedy pro každý nenulový vektor platí

Geometrické vlastnosti

Metrický tenzor umožňuje na Riemannově varietě definovat základní geometrické veličiny obdobně jako v eukleidovském prostoru. Pomocí metriky lze určovat velikosti vektorů, úhly mezi vektory, délky křivek, obsahy ploch a objemy oblastí.

Velikost vektoru je dána vztahem

Je-li a dvojice nenulových vektorů, lze úhel mezi nimi definovat pomocí vztahu

Pomocí metrické formy

lze definovat také délku křivek a vzdálenost mezi body variety.

Geodetiky

Geodetiky jsou křivky, které zobecňují pojem přímky z eukleidovského prostoru na Riemannovu varietu.

Jsou charakterizovány tím, že jejich tečný vektor je podél křivky paralelně přenášen pomocí Levi-Civitovy konexe. Je-li parametrické vyjádření geodetiky, pak platí geodetická rovnice

kde jsou Christoffelovy symboly.

Lokálně geodetiky realizují nejkratší spojení dvou dostatečně blízkých bodů variety. V eukleidovském prostoru jsou geodetikami přímky, zatímco na sféře jsou geodetikami části hlavních kružnic.

Křivost

Na rozdíl od eukleidovského prostoru mohou být Riemannovy variety zakřivené. Křivost variety je popsána Riemannovým tenzorem křivosti, který je odvozen z Levi-Civitovy konexe.

Riemannův tenzor určuje, jak se mění vektory při paralelním přenosu podél uzavřených křivek a jak se od sebe odchylují geodetiky.

Ve složkách je Riemannův tenzor definován vztahem

kde jsou Christoffelovy symboly.

Z Riemannova tenzoru lze odvodit další důležité veličiny, například Ricciho tenzor a skalární křivost.

Využití ve fyzice

Riemannovy a zejména pseudo-riemannovské variety nacházejí široké uplatnění v teoretické fyzice. Umožňují geometrický popis prostorů, na nichž jsou definována fyzikální pole, a poskytují přirozený jazyk pro formulaci fyzikálních zákonů nezávislých na volbě souřadnic.

Nejvýznamnější aplikací je obecná teorie relativity, ve které je časoprostor modelován jako čtyřrozměrná pseudo-riemannovská varieta vybavená lorentzovskou metrikou. Gravitační pole je zde popsáno metrickým tenzorem a jeho křivostí, kterou charakterizuje Riemannův tenzor křivosti, Ricciho tenzor a Einsteinův tenzor.

Geodetiky této variety představují trajektorie volně se pohybujících částic a světelných paprsků. Einsteinovy rovnice pole vyjadřují vztah mezi zakřivením časoprostoru a rozložením hmoty a energie.

Odkazy

Reference

Související články Riemannova geometrie Metrický tenzor Pseudo-riemannovská varieta Levi-Civitova konexe Geodetika Riemannův tenzor křivosti Tečný prostor

Externí odkazy

Kategorie:Riemannova geometrie