Matice hermitovsky sdružená ke komplexní matici typu je matice typu získaná transpozicí a záměnou každého z čísel za komplexně sdružené číslo. Značí se , nebo , a ve fyzice často . Nazývá se také hermitovská transpozice nebo komplexně sdružená transpozice.
Hermitovská transpozice reálných matice se shoduje s běžnou transpozicí .
Definice Hermitovská transpozice matice typu je formálně definována pro a , kde pruh značí komplexně sdružené číslo.
Tuto definici lze také napsat jako , kde označuje transpozici a označuje matici s komplexně sdruženými prvky.
Hermitovská transpozice matice může být značena některým z těchto symbolů:
, běžně používaný v lineární algebře , běžně používaný v lineární algebře , běžně používané v kvantové mechanice , ačkoli tento symbol se běžněji používá pro Mooreovu–Penroseovu pseudoinverzi
Někdy označuje matici pouze s komplexními sdruženými prvky a bez transpozice.
Ukázka Hermitovskou transpozice následující matice lze získat ve dvou krocích.
Nejprve je matice transponována:
,
a potom je každý její prvek zaměněn za své komplexně sdružené číslo:
.
Poznámky Čtvercová matice se nazývá
Hermitovská nebo samosdružená pokud . Normální, pokud . Unitární pokud , ekvivalentně .
I když není čtvercová, obě matice a jsou jak hermitovské, tak ve skutečnosti pozitivně semi-definitní.
Hermitovsky "sdružená" transpozice se v komplexní analýze někdy nazývá adjungovaná matice, ale ta by neměla být zaměňována s adjungovanou maticí z lineární algebry.
Hermitovská transpozice matice se reálnými prvky redukuje na transpozici , protože komplexně sdruženým číslem k reálnému číslu je číslo samotné.
Motivace Zavedení hermitovské transpozice může být motivováno tím, že komplexní čísla mohou být reprezentována reálnými maticemi typu , s obvyklým sčítáním a násobením matic:
Uvedené nahrazení libovolného komplexního čísla reálnou maticí řádu 2 je lineární transformace na Argandově diagramu (nahlíženo jako na reálný vektorový prostor ), ovlivněné komplexním – násobením na .
Každou komplexní matici typu pak lze reprezentovat reálnou maticí . Obyčejná transpozice této větší reálné matice odpovídá hermitovské transpozici původní komplexní matice.
Vlastnosti hermitovské transpozice Rovnosti uvedené v následujících odstavcích platí, pokud mají výsledky operací smysl.
. pro libovolné komplexní číslo . . , tj. Hermitovská transpozice je involucí. Je-li čtvercová matice, pak , kde označuje determinant matice . Je-li čtvercová matice, pak , kde označuje stopu matice . je regulární právě když je regulární a v tom případě . Vlastní čísla jsou komplexně sdružená k vlastním číslům . pro jakoukoli matici typu , libovolný vektor a libovolný vektor . Zde, označuje standardní skalární součin na , a podobně pro .
Zobecnění Poslední vlastnost uvedená výše ukazuje, že pokud pohlížíme na jako na lineární transformaci z Hilbertova prostoru na pak matice odpovídá sdruženému operátoru k . Koncept sdružených operátorů mezi Hilbertovými prostory tak může být chápán jako zobecnění hermitovské transpozice matic vzhledem k ortonormální bázi.
Existuje další zobecnění: předpokládejme, že je lineární zobrazení z komplexního vektorového prostoru do , pak lze definovat komplexně sdružené lineární zobrazení i transponované lineární zobrazení a můžeme tedy mít hermitovskou transpozici jako komplexní sdružení transpozice . Toto zobrazuje sdružený duál na sdružený duál .
Odkazy Reference
Literatura
Související články Skalární součin Sdružený operátor Adjungovaná matice
Kategorie:Teorie matic