Formální řady jsou v matematice nekonečné sumy, které se uvažují bez jakéhokoli pojmu konvergence, a na které lze uplatňovat obvyklé algebraické operace na řady (sčítání, odčítání, násobení, dělení, částečné součty, atd.).
Formální mocninná řada je speciální druh formální řady, jejíž členy jsou tvaru kde je -tá mocnina proměnné ( je nezáporné celé číslo), a se nazývá koeficient. Mocninnou řadu můžeme chápat jako zobecnění polynomu pro nekonečný počet členů a bez požadavku konvergence. Řada tedy již nemusí reprezentovat funkci své proměnné, ale pouze formální posloupnost koeficientů, což je rozdíl od mocninné řady, která definuje funkci tak, že pro proměnnou uvnitř poloměru konvergence nabývá číselných hodnot. Ve formálních mocninných řadách slouží pouze jako prostor pro koeficienty, tak, že koeficient je pátým členem posloupnosti. Metoda vytvořujících funkcí v kombinatorice používá formální mocninné řady pro reprezentaci numerických posloupností a multimnožin dovolující například stručné vyjádření rekurzivně definovaných posloupností bez ohledu na to, zda lze rekurzi explicitně vyřešit. Formální mocninné řady lze zobecnit povolením libovolného konečného (nebo spočetného) počtu proměnných a koeficientů z libovolného okruhu.
Okruhy formálních mocninných řad jsou úplné lokální okruhy, což umožňuje použití metod infinitezimálního počtu v čistě algebraickém rámci algebraické geometrie a komutativní algebry. Jsou mnoha způsoby analogické -adickým celým číslům, která lze definovat jako formální řady mocniny .
Úvod Na formální mocninné řady lze volně pohlížet jako na objekty, které se podobají polynomům, ale mají nekonečně mnoho členů. Alternativně, pro tyto známější s Mocninná řada (nebo Taylorova řada), můžeme uvažovat formální mocninnou řadu za mocninnou řadu, u níž ignorujeme otázky konvergence tím, že nepředpokládáme, že proměnná X označuje nějakou číselnou hodnotu (ani nějakou neznámou hodnotu). Například uvažujeme řadu
Pokud tuto řadu zkoumáme jako mocninnou řadu, k jejím vlastnostem například patří, že její poloměr konvergence je 1. Ale u formální mocninné řady můžeme tuto vlastnost zcela ignorovat; jediné, co je relevantní, je posloupnost koeficientů [1, −3, 5, −7, 9, −11…]. Jinými slovy, formální mocninná řada je objekt, který pouze zaznamenává posloupnost koeficientů. Je naprosto přijatelné uvažovat formální mocninnou řadu s koeficienty tvořenými faktoriály [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040… ], přestože odpovídajícím mocninná řada diverguje pro libovolnou nenulovou hodnotu X.
Aritmetika s formálními mocninnými řadami se provádí jako by to byly polynomy. Pokud například
pak sečteme A a B člen po členu:
Formální mocninné řady můžeme násobit, opět jako kdyby to byly polynomy (viz konkrétně Cauchyho součin):
Všimněte si, že každý koeficient v součinu AB závisí pouze na konečném počtu koeficientů řad A a B. Například člen X5 popisuje vztah
Z tohoto důvodu můžeme formální mocninné řad násobit, aniž bychom se starali o obvyklé otázky absolutní konvergence, podmíněné a stejnoměrné konvergence, které se objevují v popisech mocninných řad v analýze.
Jakmile máme definované násobení formálních mocninných řad, můžeme definovat jejich multiplikativní inverzi takto. Multiplikativní inverze formální mocninné řady A je formální mocninná řada C taková, že AC = 1, za předpokladu, že taková formální mocninná řada existuje. Ukazuje se, že pokud A má multiplikativní inverzi, je jednoznačná, a označujeme ji A−1. Nyní můžeme definovat dělení formálních mocninných řad tak, že definujeme B/A jako součin BA−1, za předpokladu, že existuje inverze A. Můžeme použít například výše uvedenou definici násobení pro ověření známějšího vzorce
Důležitou operací na formální mocninné řadě je extrakce koeficientu. Ve svém nejzákladnějším tvaru je operátor extrakce koeficientu aplikován na formální mocninnou řadu s jednou proměnnou extrahuje koeficient -té mocniny proměnné, takže a . K dalším příkladům patří
Podobně lze mnoho jiných operací definovaných pro polynomy rozšířit na formální mocninné řady, jak je vysvětleno níže.
Okruh formálních mocninných řad
Pokud uvažujeme množinu všech formálních mocninných řad v X s koeficienty v komutativním okruhu reálných čísel R, prvky této množiny dohromady tvoří jiný okruh, který zapisujeme a nazýváme okruh formálních mocninných řad proměnné X nad R.
Definice okruhu formálních mocninných řad můžeme abstraktně charakterizovat jako zúplnění okruhu polynomů opatřeného určitou metrikou. Díky tomu má strukturu topologického okruhu (dokonce úplného metrického prostoru). Ale obecná konstrukce zúplnění metrického prostoru je komplikovanější, než co potřebujeme zde, a způsobila by, že by se formální mocninné řady zdály složitější, než jsou. je možné popsat explicitněji, a strukturu okruhu a topologickou strukturu lze definovat odděleně, jak je uvedeno níže.
Struktura okruhu Jako množina, lze zkonstruovat jako množinu všech nekonečných posloupností prvků z , indexovaných přirozenými čísly (včetně 0). Pokud posloupnost, jejíž člen s indexem je budeme značit , pak sčítání dvou takových posloupností lze definovat zápisem
a násobení
Tento typ součinu se nazývá Cauchyho součin dvou posloupností koeficientů, a je druhem diskrétní konvoluce. S těmito operacemi tvoří komutativní okruh s nulovým prvkem a multiplikativní identitou .
Definice násobení je vlastně stejná, jaká se používá pro definici násobení polynomů s jednou proměnnou, což naznačuje použití podobné notace. lze vnořit do použitím libovolné (konstanty) pro posloupnost a posloupnost označíme ; pak použitím výše uvedené definice dostaneme, že každou posloupnost s pouze konečně mnoha nenulovými členy lze vyjádřit pomocí těchto speciálních prvků jako
což jsou právě polynomy v . Díky tomu je docela přirozené a pohodlné pro určení obecné posloupnosti formálním výrazem , přestože druhý není výraz tvořený operacemi sčítání a násobení definovanými výše (ze kterých lze konstruovat pouze konečný součty). Tento způsob zápisu umožňuje zapsat výše uvedené definice jako
a
což je docela pohodlné, ale musíme si být vědomi rozdílu mezi formální sumací (pouhá konvence) a skutečným sčítáním.
Topologická struktura Poté, co jsme konvenčně stanovili, že
bychom chtěli interpretovat pravou stranu jako dobře definovanou nekonečnou sumaci. Kvůli tomu definujeme pojem konvergence v a zkonstruujeme topologii na . Existuje několik ekvivalentních způsobů, jak požadovanou topologii definovat:
Pro použít součinovou topologii, přičemž pro jednotlivé složky se použije diskrétní topologie. Pro použít I-adickou topologii, kde je ideál generovaný , který sestává ze všech posloupností, jejichž první člen je nulový. Topologii lze také odvodit z následující metriky: Vzdálenost mezi různými posloupnostmi se definuje jako kde je nejmenší přirozené číslo takové, že ; vzdálenost mezi dvěma stejnými posloupnostmi je samozřejmě nulová.
Neformálně se dvě posloupnosti a k sobě blíží právě tehdy, když více jejich členů přesně souhlasí. Formálně posloupnost částečných součtů nějaké nekonečné sumace konverguje, pokud se koeficient pro každou pevnou mocninu stabilizuje: neboli existuje bod, od kterého mají všechny další částečné součty stejný koeficient. To je zřejmě případ pravé strany vzorce (), bez ohledu na hodnoty , protože zahrnutí členu pro dává poslední (a vlastně jedinou) změnu koeficientu . Je také zjevné, že limita posloupnosti částečných součtů je rovna levé straně.
Tato topologické struktura spolu s okruhovými operacemi popsanými výše tvoří topologický okruh, který nazýváme okruh formálních mocninných řad nad a značíme . Tato topologie má užitečnou vlastnost, že nekonečné sumy konverguje právě tehdy, když posloupnost jejích členů konverguje k 0, což pouze znamená, že libovolná pevná mocnina se objeví pouze v konečně mnoha členech.
Topologická struktura umožňuje mnohem flexibilnější použití nekonečných sum. Například pravidlo pro násobení lze přeformulovat jednoduše jako
protože pouze konečně mnoho členů na pravé straně ovlivňuje libovolné pevné . Nekonečné součiny jsou také definovány vztahem topologických struktur; je vidět, že nekonečný součin konverguje právě tehdy, když posloupnost jeho členů konverguje k 1 (pak je součin nenulový) nebo když nekonečně mnoho členů nemá konstantní člen (v tomto případě je součin nulový).
Alternativní topologie Výše uvedená topologie je nejjemnější topologií, pro kterou
vždy konverguje jako sumace k formální mocninné řadě určené stejným výrazem, a často postačuje, aby dávala význam nekonečným součtům a součinům nebo jiný druhům limity, které chceme používat pro definici určité formální mocninné řady. Může se ale příležitostně stát, že chceme používat hrubší topologii, takže určité výrazy, které by jinak divergovaly, se stanou konvergentními. To konkrétně platí, když bázový okruh má jinou už než diskrétní topologii, například pokud je sám také okruhem formálních mocninných řad.
V okruhu formálních mocninných řad se topologie výše uvedené konstrukce týká pouze neurčitého , protože topologie, které byl kladen byla při definování topologie celého okruhu nahrazena diskrétní topologií. Proto
konverguje (a součet lze zapsat jako ); ale
lze považovat za divergentní, protože koeficient je ovlivňován každým členem. Toto asymetrie zmizí, pokud okruh mocninných řad v používá součinovou topologii, kde každé kopii je dána topologie okruhu formálních mocninných řad místo diskrétní topologie. S toto topologií posloupnost prvků konverguje, pokud koeficient každé mocniny konverguje k formální mocninné řadě proměnné , což je slabší podmínka než úplná stabilizace. S touto topologií například v druhém výše uvedeném příkladě konverguje koeficient k , takže celá suma konverguje k .
Tento způsob definování topologie je pro opakované konstrukce okruhů formálních mocninných řad vlastně standardní, a dává stejnou topologii, jakou bychom dostali použitím formální mocninné řady ve všech neurčitých najednou. Ve výše uvedeném příkladě by to znamenalo zkonstruování a zde posloupnost konverguje právě tehdy, když se koeficient každého jednočlenu stabilizuje. Tato topologie, který je také -adická, kde je ideál generovaný a má stále tu vlastnost, že sumace konverguje právě tehdy, když se její členy blíží 0.
Stejný princip by mohl být použit, aby jiné divergentní limity konvergovaly. Například v neexistuje limita
takže speciálně ani nekonverguje k
Důvodem je, že pro se koeficient členu nestabilizuje, když . V obvyklé topologii však konverguje, a to ke koeficientu členu . Proto, pokud bychom pro použili součinovou topologii kde by topologie byla obvyklá topologie místo diskrétní, pak by výše uvedená limita konvergovala k . Tento benevolentnější přístup ale není standardní, pokud uvažujeme formální mocninné řady, protože by to vedlo k úvahám o konvergenci, které by byly stejně subtilní jako v analýze, zatímco filozofií formálních mocninných řad je naopak učinit otázky konvergence co možná nejjednodušší. S touto topologií by neplatilo, že sumace konverguje právě tehdy, když se její členy blíží k 0.
Univerzální vlastnost Okruh lze charakterizovat následující univerzální vlastností. Pokud je komutativní asociativní algebra nad , pokud je ideál takový, že -adická topologie na je úplná, a, pokud je prvkem , pak existuje jednoznačné zobrazení s následujícími vlastnostmi:
je homomorfismus -algebry je spojité .
Operace na formálních mocninných řadách Na mocninných řadách můžeme provádět algebraické operace, které generují další mocninné řady. Kromě operací struktury okruhu definovaných výše, máme následující.
Mocniny mocninných řad Pro libovolné přirozené číslo n máme
kde
(Tento vzorec může být používán, pouze pokud m a A0 jsou invertovatelné v okruhu koeficientů.)