Fridmanovy rovnice (též Fridmanovy–Lemaîtrovy rovnice) jsou soustavou rovnic v kosmologii, které popisují časový vývoj homogenního a izotropního vesmíru v rámci obecné teorie relativity. Byly odvozeny Alexandrem Fridmanem v roce 1922 z Einsteinových rovnic pole pro Fridmanovu–Lemaîtreovu–Robertsonovu–Walkerovu metriku a ideální kosmologickou tekutinu s hustotou energie a tlakem .
Fridmanovy rovnice určují dynamiku škálového faktoru , který popisuje rozpínání nebo smršťování vesmíru.
Historie Alexandr Fridman publikoval v letech 1922 a 1924 dva průkopnické články o relativistické kosmologii. Navázal na práce Alberta Einsteina a Willema de Sittera z roku 1917, které předpokládaly homogenní a izotropní vesmír, avšak zároveň vycházely ze statického modelu vesmíru. Einstein proto zavedl do svých rovnic pole kosmologickou konstantu, která měla statický vesmír stabilizovat.
Ve svém článku Über die Krümmung des Raumes („O zakřivení prostoru“) z roku 1922 Fridman ukázal, že Einsteinovy rovnice připouštějí kromě statického řešení také časově proměnná řešení odpovídající rozpínajícímu se nebo smršťujícímu se vesmíru. Za předpokladu homogenity a izotropie odvodil vztah mezi hustotou hmoty a energie a geometrickými vlastnostmi časoprostoru. Tím položil základ moderních dynamických kosmologických modelů.
Ve druhém článku Über die Möglichkeit einer Welt mit konstanter negativer Krümmung des Raumes („O možnosti světa s konstantní negativní křivostí prostoru“) z roku 1924 analyzoval modely vesmíru se zápornou prostorovou křivostí. Ukázal, že obecná teorie relativity sama o sobě neurčuje, zda je vesmír prostorově konečný nebo nekonečný, protože rovnice připouštějí více topologicky odlišných řešení se stejnou lokální geometrií.
Fridmanovy práce zpočátku nevzbudily větší pozornost. Na jejich význam později nezávisle navázal Georges Lemaître, který spojil dynamické modely vesmíru s pozorovaným rudým posuvem galaxií.
Rovnice
Pro homogenní a izotropní vesmír existují dvě nezávislé Fridmanovy rovnice.
První Fridmanova rovnice (rovnice expanze)
První Fridmanova rovnice má tvar
kde: je škálový faktor, jeho derivace podle času, je gravitační konstanta, hustota energie, parametr prostorové křivosti, rychlost světla, kosmologická konstanta.
Výraz
se nazývá Hubbleův parametr.
Druhá Fridmanova rovnice (rovnice zrychlení)
Druhá Fridmanova rovnice popisuje zrychlení nebo zpomalování expanze:
Tato rovnice ukazuje, že kromě hustoty energie ovlivňuje dynamiku vesmíru také tlak .
Kladná hodnota kosmologické konstanty může způsobit zrychlenou expanzi vesmíru.
Bezrozměrný faktor
Bezrozměrný škálový faktor se obvykle normalizuje podmínkou
kde označuje současnost.
Pro vztah mezi škálovým faktorem a kosmologickým rudým posuvem platí
Menší hodnota škálového faktoru tedy odpovídá dřívějším obdobím vývoje vesmíru.
Kritická hustota
Pro plochý vesmír () lze definovat tzv. kritickou hustotu
Kritická hustota představuje hustotu energie odpovídající geometricky plochému vesmíru.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Fridmanova–Lemaîtreova–Robertsonova–Walkerova metrika Škálový faktor Vesmír
Kategorie:Kosmologie Kategorie:Obecná teorie relativity