Spinová grupa je v matematice a teoretické fyzice speciální Lieova grupa, která představuje dvojité nakrytí (v literatuře též dvojité pokrytí) speciální ortogonální grupy. Spinové grupy hrají důležitou roli v diferenciální geometrii, teorii reprezentací a zejména v kvantové mechanice a kvantové teorii pole, kde umožňují popis částic s poločíselným spinem.
Spinová grupa příslušná ortogonální grupě signatury se značí
Pro eukleidovský prostor dimenze se používá značení
Existuje surjektivní homomorfismus
jehož jádro tvoří dvouprvková grupa . Spinová grupa je tedy dvojitým pokrytím speciální ortogonální grupy.
Vztah ke grupě SO(n)
Speciální ortogonální grupa popisuje rotace v eukleidovském prostoru dimenze . Pro však není jednoduše souvislá; její fundamentální grupa je izomorfní grupě .
To znamená, že existuje její univerzální nakrytí, kterým je právě spinová grupa. Například grupa
je izomorfní grupě
zatímco
Z tohoto důvodu se v kvantové mechanice spinory transformují podle reprezentací grupy , nikoli přímo podle grupy .
Definice
Spinová grupa se konstruuje pomocí Cliffordovy algebry. Nechť je reálný vektorový prostor s nedegenerovanou symetrickou bilineární formou . Cliffordova algebra je algebra generovaná prvky prostoru s relací
Spinová grupa je podgrupa invertibilních sudých prvků Cliffordovy algebry, které zachovávají prostor při konjugaci.
V případě signatury se značí
Příklady
Grupa Spin(2)
Grupa je izomorfní grupě jednotkových komplexních čísel:
Grupa Spin(3)
Platí
Grupa tvoří dvojité nakrytí grupy rotací . Každé rotaci v tedy odpovídají dva prvky grupy .
Tato vlastnost vede v kvantové mechanice k tomu, že spinorový stav částice se po otočení o úhel změní o znaménko a původního stavu dosáhne až po otočení o .
Lorentzovská spinová grupa
Ve speciální teorii relativity je důležitá grupa
která je dvojitým nakrytím vlastní ortochronní Lorentzovy grupy. Platí izomorfismus
Její reprezentace umožňují popis relativistických spinorových polí, například Diracových spinorů.
Vlastnosti
Spinové grupy jsou souvislé Lieovy grupy. Pro je grupa univerzálním nakrytím grupy .
Lieova algebra spinové grupy je izomorfní Lieově algebře speciální ortogonální grupy:
Dimenze spinové grupy je proto stejná jako dimenze grupy :
Spinové grupy nejsou obecně maticové grupy v původní definici, ale lze je reprezentovat pomocí maticových reprezentací Cliffordových algeber.
Využití
Spinové grupy mají zásadní význam v moderní matematické fyzice.
V kvantové mechanice popisují symetrie částic s poločíselným spinem. Elektron je například popsán spinorovou reprezentací grupy .
Ve kvantové teorii pole a standardním modelu částicové fyziky vystupují spinorové reprezentace Lorentzovy spinové grupy při formulaci Diracovy rovnice a teorií fermionových polí.
V diferenciální geometrii umožňují spinové grupy definici spinorových polí na Riemannových varietách. Varieta, na níž lze definovat spinorovou strukturu, se nazývá spinová varieta.
Odkazy Reference
Literatura
Související články Unitární grupa Středová souměrnost Symplektická grupa Ortogonální grupa
Kategorie:Teorie grup