Ortogonální souřadnice (ortogonální soustava souřadnic, též pravoúhlá soustava souřadnic nebo pravoúhlé souřadnice) představují v matematice takový systém souřadnic, v němž jsou v každém bodě souřadné osy navzájem kolmé.
Označení pochází z latiny, kde othos znamená pravý a přípona -gonální znamená -úhlý.
Ortogonální souřadnice lze definovat jako množinu souřadnic , jejichž metrický tenzor má pouze diagonální členy, tzn. infinitezimální čtverec vzdálenosti může být zapsán jako součet čtverců infinitezimálních souřadnicových vzdáleností, tzn. , kde je dimenze prostoru a funkce (tzv. Laméovy koeficienty) jsou určeny diagonálními prvky metrického tenzoru .
Vektory a integrály Ze vztahu pro vzdálenost lze určit infinitezimální změnu ve směru souřadnice jako . Odtud lze získat diferenciál polohového vektoru jako , kde jsou jednotkové vektory kolmé (tedy normálové vektory) k plochám konstantních souřadnic . Tyto jednotkové vektory jsou tečné k souřadnicovým čarám a tvoří souřadnicové osy lokálního kartézského systému souřadnic.
Vztahy pro skalární a vektorový součin mají v ortogonálním souřadném systému obvyklý tvar, tzn.
Tedy např. integrál po křivce má v ortogonálních souřadnicích tvar , kde je složka vektoru ve směru -tého jednotkového vektoru
Podobně lze pro infinitezimální element obsahu psát , kde , a pro infinitezimální element objemu , kde a . Např. integrál přes plochu ve třírozměrných ortogonálních souřadnicích má tvar
Diferenciální operátory ve třech rozměrech Gradient lze vyjádřit jako
Laplaceův operátor má tvar
Operátor divergence se zapíše jako
kde je -tá složka vektoru .
Podobně lze operátor rotace vyjádřit ve tvaru
Příklady
Dvourozměrné ortogonální soustavy souřadnic Kartézská soustava souřadnic (dvourozměrná) Polární soustava souřadnic Eliptická soustava souřadnic Parabolická soustava souřadnic (dvourozměrná) Bipolární soustava souřadnic
Třírozměrné ortogonální soustavy souřadnic Kartézská soustava souřadnic (třírozměrná) Sférická soustava souřadnic Válcová soustava souřadnic Eliptická válcová soustava souřadnic
Externí odkazy
Článek o ortogonálních souřadnicích na MathWorld
Kategorie:Soustavy souřadnic