Sylowovy věty je souhrnný název pro několik matematických vět z oblasti teorie grup. Jsou částečným obrácením Lagrangeovy věty – zaručují pro prvočíselné dělitele řádu grupy existenci podgrup složených z prvků řádu a dávají dodatečnou informaci o jejich počtu a vlastnostech. Pojmenovány byly po norském matematikovi Ludwigu Sylowovi.
Sylowova p-podgrupa Sylowovou -podgrupou grupy , kde je prvočíslo, nazýváme každou její podgrupu, která je maximální p-grupou (tj. takovou ≤ , že každý prvek má řád mocniny a je maximální s touto vlastností). Množina všech Sylowových -podgrup grupy se značí .
Znění vět Znění i počet Sylowových vět se u různých autorů liší. Jako celek však Sylowovy věty dávají vždy tutéž informaci.
První Sylowova věta Nechť je konečná grupa a prvočíslo dělící její řád. Pak všechny Sylowovy -podgrupy jsou konjugovány (pro ∈ existuje ∈ , že ) a jejich počet je pro nějaké ≤ (tj. ≡ ).
Důsledky Všechny Sylowovy -podgrupy jsou izomorfní. Konečná grupa obsahuje prvek řádu pro každé prvočíslo , které dělí řád . Konečná grupa je p-grupou, právě když je řádu mocniny .
Druhá Sylowova věta Nechť je konečná grupa řádu ,kde je prvočíslo, které nedělí a . Pak všechny Sylowovy -podgrupy mají řád .
Třetí Sylowova věta Nechť G je konečná grupa a p prvočíslo takové, že dělí řád . Nechť dále je podgrupa ( ≤ ) řádu . Pak existuje grupa řádu splňující (tj. je normální v ).
Odkazy
Související články Lagrangeova věta
Literatura
Kategorie:Teorie grup Kategorie:Matematické věty a důkazy