Asociativita je v algebře vlastnost binární operace, která znamená, že nezáleží na použití závorek ve výrazu, kde je více operandů, tedy v jakém pořadí se tento výraz počítá. Například operace sčítání čísel je asociativní, takže .

V informatice se často název asociativita používá i pro operace, které asociativní v matematickém smyslu nejsou. Pak se rozlišují asociativita zleva doprava, jaká je například u odečítání, kdy a - b - c znamená (a - b) - c, a asociativita zprava doleva, jaká je třeba u umocňování, kde a ↑ b ↑ c znamená a ↑ (b ↑ c) (místo ↑ se v některých programovacích jazycích používá **, v jiných ^).

Definice Binární operace ∗ (tedy abstraktní operace se dvěma operandy symbolizovaná znakem ∗) je na množině S asociativní, jestliže platí

(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

pro každé x, y a z v S.

Příklady Příklady asociativních binárních operací jsou sčítání (a + b) a násobení (a . b) reálných čísel.

(2 + 3) + 8 = 5 + 8 = 13 = 2 + 11 = 2 + (3 + 8) (7×3)×2 = 21×2 = 42 = 7×6 = 7×(3×2)

Další ukázky asociativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání vektorů, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou asociativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b) a umocňování (ab) čísel nebo vektorové násobení vektorů.

.

U neasociativních operací je tedy třeba buď důsledně závorkovat, nebo se dohodnout na implicitním pořadí provádění operací – pak se někdy mluví o operacích asociativních zleva či asociativních zprava''. Z předvedených příkladů je odčítání zleva asociativní, výraz 10 − 5 − 3 se chápe jako (10 − 5) − 3, naopak umocňování je asociativní zprava, (neboť levá asociativita by u mocnění byla neužitečná – stejného výsledku lze díky pravidlům pro mocniny zapsat pomocí součinu exponentů: ).

Vlastnosti Asociativita operace je důležitá, protože umožňuje nepoužívat závorky a například zavést mocniny s přirozeným mocnitelem.

Odkazy Reference

Literatura

Související články Komutativita Distributivita Precedence Aritmetika Algebraická struktura

Externí odkazy

Kategorie:Algebra