náhled|Grafy kvadratických funkcí v závislosti na hodnotě diskriminantu Δ. Znaménko diskriminantu určuje počet průsečíků s osou x (přímkou y = 0) a tedy počet (reálných) kořenů odpovídající kvadratické rovnice Diskriminant (latinsky discriminare – rozlišit) je hodnota získaná z koeficientů polynomu, která umožňuje určit vlastnosti jeho kořenů, aniž bychom je znali. Používá se při řešení algebraických rovnic, především kvadratických, a také při studiu vlastností polynomických funkcí. Přesněji řečeno, je to polynomiální funkce získaná z koeficientů původního polynomu. Diskriminant je definován pro polynomy libovolného stupně, ale nejčastěji se používá pro zkoumání kvadratických polynomů.
Např. v případě kvadratických rovnic s reálnými koeficienty rozhoduje diskriminant o množině, ve které se nacházejí její kořeny a o jejich násobnosti. Pro jsou kořeny z množiny reálných čisel, která je podmnožinou množiny komplexních čísel. Právě pro má rovnice dvojnásobný (reálný) kořen. Pro jsou oba kořeny imaginární.
Diskriminant lze také obecněji definovat pro kvadratické formy.
Diskriminant kvadratických rovnic Pro kvadratickou rovnici (kde ) je diskriminant .
U rovnic s reálnými koeficienty znaménko diskriminantu určuje charakter kořenů: Pokud , pak má daná rovnice právě dva různé reálné kořeny . Pokud , pak má daná rovnice právě jeden dvojnásobný reálný kořen . Pokud , pak má daná rovnice právě dva různé imaginární sdružené kořeny .
Diskriminant ryze kvadratické rovnice, dané předpisem: (kde ), je : Pokud (liší se znaménko a ), má daná rovnice dva navzájem opačné kořeny: . Pokud (shoduje se znaménko a ), má daná rovnice dva navzájem opačné imiganinární kořeny: .
Diskriminantem kvadratické rovnice v normovaném tvaru
je .
U rovnic s komplexními koeficienty diskriminant jen určuje existenci násobného kořene – právě v tomto případě je nulový.
Vyjádření diskriminantu pomocí kořenů polynomu druhého stupně
Pro kořeny polynomu druhého stupně platí:
; .
Vyjádření: ;
Dosazením do vzorce pro výpočet diskriminantu:
Diskriminant polynomu druhého stupně (kvadratické rovnice) s kořeny je dán vztahem:
Dva různé reálné kořeny pro: Jeden dvojnásobný reálný kořen pro: Dva komplexně sdružené imaginární kořeny pro:
Diskriminant kubických rovnic U kubické rovnice (kde ) se diskriminant definuje s pomocí jejích kořenů vztahem
Lze ho vyjádřit díky symetrii (pomocí Viètových vzorců) jen pomocí koeficientů rovnice jako
S reálnými koeficienty platí:
Tři různé reálné kořeny pro
Násobný kořen ze tří reálných pro
Jeden reálný a dva imaginární sdružené kořeny pro
U rovnice v redukovaném tvaru
se počítá diskriminant jednodušeji jako
což je
Diskriminant polynomu n−tého stupně Diskriminantem polynomu −tého stupně s kořeny rozumíme výraz
Jedná se v podstatě o součin všech kvadrátů rozdílů neuspořádaných dvojic kořenů. Proto je roven nule, právě když existuje násobný kořen.
U rovnice s reálnými koeficienty platí, že pokud má všechny kořeny reálné, je diskriminant nezáporný. Opak platí jen u rovnic nejvýše třetího stupně.
Diskriminant polynomu stupně n je symetrický polynom stupně n(n-1) jeho kořenů a lze jej vyjádřit pomocí Vietových vzorců jen pomocí koeficientů polynomu.
Diskriminant úzce souvisí s Vandermondovým determinantem: .
Reference
Související články Kvadratická rovnice Kubická rovnice Vandermondova matice
Externí odkazy
Řešené příklady Kubická rovnice
Kategorie:Algebra Kategorie:Kvadratické formy