Faktorová grupa neboli faktorgrupa nebo podílová grupa případně pod vlivem angličtiny kvocientní grupa je v teorii grup grupa odvozená od dvou jiných grup způsobem, který zobecňuje dělení na grupy. V univerzální algebře je možné definovat faktorovou grupu jako grupu, která je faktoralgebrou jiné grupy.
Definice
Rozklady podle podgrupy Levým rozkladem grupy podle podgrupy je množina
kde množiny se nazývají levé třídy rozkladu.
Pravým rozkladem grupy podle podgrupy je množina
kde množiny pravé třídy rozkladu.
Normální podgrupa Podgrupa grupy je normální, značíme , pokud pro všechny platí .
Příklad Každá podgrupa abelovské grupy je normální.
Faktorgrupa Jestliže je normální podgrupa grupy (symbolicky: ), můžeme na množině levých rozkladových tříd zavést grupovou operaci
.
Pak množina levých rozkladových tříd s touto operací tvoří opět grupu, která se nazývá faktorová grupa podle normální podgrupy a značí se .
Příklady Je-li libovolná grupa s násobením, pak a jsou její normální podgrupy. Pro příslušné faktorové grupy platí a . Množina všech násobků čísla je normální podgrupou aditivní grupy , faktorová grupa je isomorfní s grupou .
Hlavní věty o faktorových grupách Nechť je homomorfizmus grup. Pak jádro Ker(f) je normální podgrupa G a definuje izomorfizmus grup
Nechť . Pak ke každému homomorfismu grup, pro který , existuje jediný homomorfismus takový, že (kde je projekce na ).
Nechť N a H jsou normální podgrupy G a N je podgrupa H. Pak N je normální podgrupa H, H/N je normální podgrupa G/N a platí
Související články Faktoralgebra Faktorokruh Normální podgrupa
Literatura
Kategorie:Teorie grup