Uzávěr množiny () je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr značíme většinou , popř. .
Neformální úvod Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.
Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.
Definice Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru , které obsahují jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny , značíme .
je uzavřená
Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny jako množinu všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s .
Vnitřní a vnější body Uzávěr množiny metrického prostoru lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako , kde označuje vnitřek množiny .
Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod označíme jako vnitřní bod množiny , pokud existuje takové , že pro množinu platí .
Pokud platí , pak se množina nazývá otevřená (v metrice ).
Pro množiny metrického prostoru platí vztahy
pokud , pak platí také každá otevřená podmnožina množiny je podmnožinou množinu získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny .
Je-li částí metrického prostoru , pak vnitřek množiny nazveme vnějškem množiny . Body nacházející se ve vnějšku nazýváme vnějšími body množiny .
Pokud existuje takové okolí bodu , že , pak bod a nazýváme izolovaným bodem.
Jestliže každé okolí bodu obsahuje prvek množiny různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny .
Bod uzávěru je hromadným bodem množiny (pokud se nejedná o izolovaný bod).
Vlastnosti uzávěru Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. .
Uzávěr prázdné množiny je prázdná množina.
Uzávěr celého je , tzn. . Pro platí
(Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci a .)
pokud , pak je-li je podmnožinou uzavřené množiny , pak
Související články Vnitřek množiny Otevřená množina
Kategorie:Topologie Kategorie:Unární operátory