Banachovy prostory jsou normované lineární prostory, které jsou navíc úplné. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání funkcionální analýzy. Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha, který je studoval.
Definice Banachovým prostorem rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je vektorový prostor nad tělesem reálných nebo komplexních čísel s normou , ve kterém má každá cauchyovská posloupnost v indukované metrice vlastní limitu.
Příklady Prostory a (všechny n-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory a eukleidovskou normou
,
pro , budou dokonce Hilbertovy.
Prostor všech spojitých funkcí opatřený normou
je Banachův. Vybavíme-li předchozí prostor normou nebo , Banachův již nebude.
Jestliže X je normovaný lineární prostor a Y je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z X do Y s normou
je Banachův prostor. Speciálně duální prostor X* k prostoru X je vždy Banachův, neboť v takovém případě .
Související články Hilbertův prostor Lebesgueovy prostory
Externí odkazy
Kategorie:Funkcionální analýza