130px|náhled|Různá složení téhož vektoru z vektorů dvou různých bází (fialové a červené šipky).
V matematice se množina prvků vektorového prostoru nazývá báze, pokud lze každý prvek prostoru zapsat jednoznačně jako konečnou lineární kombinaci prvků množiny .
Koeficienty této lineární kombinace se nazývají souřadnice nebo složky vektoru vzhledem k bázi . Prvky báze se nazývají bázové vektory.
Ekvivalentně, množina je báze, pokud jsou její prvky lineárně nezávislé a každý prvek prostoru je lineární kombinací prvků množiny , stručněji: báze je lineárně nezávislá generující množina.
Vektorový prostor může mít více různých bází. Všechny báze mají stejný počet prvků, který se nazývá dimenze vektorového prostoru.
Tento článek se zabývá především konečně rozměrnými vektorovými prostory, avšak mnohé principy platí i pro vektorové prostory nekonečné dimenze.
Bázové vektory nacházejí uplatnění například při studiu krystalových struktur a vztažných soustav.
Definice Báze vektorového prostoru nad tělesem (například nad reálnými čísly nebo komplexními čísly ) je lineárně nezávislá podmnožina prostoru , která generuje celý prostor . Konkrétně:
je lineárně nezávislá: Pro každou konečnou podmnožinu platí, že jestliže existují skaláry takové, že , pak nutně .
generuje prostor : Pro každý vektor existují skaláry a vektory takové, že . Skaláry se nazývají souřadnice vektoru vzhledem k bázi a díky první vlastnosti (lineární nezávislosti) jsou jednoznačně určeny. Taková množina se nazývá systém generátorů prostoru .
Vektorový prostor, který má konečnou bázi, se nazývá konečně rozměrný. Pokud ve vektorovém prostoru existuje konečný systém generátorů, je konečně rozměrný, a podmínku lineární nezávislosti stačí ověřit jen pro celou množinu , protože pak jsou lineárně nezávislé i všechny její podmnožiny.
Při zápisu souřadnic vektoru vzhledem k bázi nebo při zkoumání orientace prostoru jsou uvažovány uspořádáné báze. Uspořádání se obvykle provádí očíslováním nebo indexací vektorů báze.
Standardní báze Zejména u aritmetických vektorových prostorů a také u prostorů posloupností, matic a polynomů se zavádí standardní báze, které mají jednoduchý tvar a s nimiž se snadno pracuje.
Ukázky náhled|400px|Tento obrázek znázorňuje standardní bázi v prostoru . Modrý a oranžový vektor představují prvky báze; zelený vektor lze vyjádřit pomocí vektorů báze, a proto je na nich lineárně závislý.
Množina uspořádaných dvojic reálných čísel je vektorový prostor vzhledem k operacím:
sčítání po složkách: ,
skalárnímu násobku: , kde je libovolné reálné číslo.
Jednoduchou bází tohoto vektorového prostoru je dvojice vektorů a . Tyto vektory tvoří bázi, nazývanou často standardní báze, nebo kanonická báze,angl. též natural basis – přirozená báze protože každý vektor z prostoru lze jednoznačně vyjádřit jako:
.
Každá jiná dvojice lineárně nezávislých vektorů v , například a , tvoří rovněž bázi prostoru , ovšem takové báze nejsou považovány za standardní.
Obecněji, pokud je těleso, pak množina všech -tic prvků z tvoří vektorový prostor s obdobně definovaným sčítáním a skalárními násobky po složkách. V tomto prostoru lze zavést vektory ve tvaru , kde vektor je -tice se všemi složkami nulovými až na -tou, která je rovna jedné. Uspořádaná posloupnost vektorů tvoří standardní bázi prostoru .
Přímým zobecněním standardní báze aritmetických vektorových prostorů konečné dimenze, tj. uspořádaných -tic čísel, je standardní báze prostoru číselných posloupností, která je tvořena posloupnostmi tvaru
V kompaktnějším tvaru pak lze libovolnou posloupnost ze standardní báze zapsat jako , kde symbol je Kroneckerovo delta.
Podobně jako pro aritmetické vektorové prostory je možné definovat standardní bázi i pro vektorový prostor matic . Například prostor má standardní bázi tvořenou vektory
kde 0 a 1 jsou nulový a jednotkový prvek tělesa . Analogicky bychom obdrželi standardní báze i pro matice jiných rozměrů.
Další ukázkou jsou tzv. polynomiální okruhy. Je-li těleso, pak množina všech polynomů v jedné proměnné s koeficienty v tvoří vektorový prostor nad tímto tělesem . Jedna z bází tohoto prostoru je tzv. monomická báze , která se skládá ze všech monomů:
Každá množina polynomů, která obsahuje právě jeden polynom každého stupně (například Bernsteinovy polynomy nebo Čebyševovy polynomy), tvoří rovněž bázi. Taková množina polynomů se nazývá polynomiální posloupnost. Existuje však také mnoho dalších bází prostoru , které nemají tento tvar.
Hamelova báze Pokud uvažujeme množinu s nekonečným počtem prvků, nelze jednoznačně určit bázi a tudíž i dimenzi takového prostoru. Připustíme-li však platnost axiomu výběru, lze ukázat, že každý vektorový prostor má bázi (viz oddíl Existence báze). U nekonečně-rozměrných prostorů této bázi říkáme Hamelova báze. Je pojmenována po německém matematikovi Georgu Hamelovi. Připomeňme, že v definici lineárního obalu a lineárně nezávislé množiny vždy uvažujeme jen konečné lineární kombinace. V případě konečně rozměrných prostorů se Hamelova báze redukuje na běžnou bázi vektorového prostoru a je tedy přímým zobecněním báze konečně rozměrného vektorového prostoru na nekonečně rozměrný případ.
Příkladem Hamelovy báze je standardní báze prostoru posloupností či standardní báze prostoru polynomů.
Schauderova báze Při práci s nekonečně-rozměrnými prostory není pojem Hamelovy báze dostačující. Definují se tak jiné báze. Máme-li vektorový prostor vybaven normou, který je navíc v dané normě úplný, můžeme jako nejpřímější zobecnění Hamelovy báze zavést Schauderovu bázi, která je pojmenována po svém tvůrci, polském matematikovi J. Schauderovi. Příkladem úplného vektorového prostoru s normou jsou Hilbertovy či obecněji Banachovy prostory. Občas se přízvisko v kontextu těchto prostorů vynechává a hovoří se pouze o bázi. Schauderova báze je v těchto prostorech definována následovně:http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zeleny/mff/MA2B/MA2b_Kap_18_tisk.pdf
Nechť je Banachův prostor definovaný nad tělesem , označme si jeho normu jako . Pak posloupnost prvků z nazveme (Schauderovou) bází tohoto prostoru, jestliže pro každý vektor existuje právě jedna posloupnost prvků z tak, že platí:
Rovnost výše je přitom chápána ve smyslu:
Schauderova báze je oproti té Hamelově tedy obecnější v tom, že uvažuje i lineární kombinace "nekonečně" mnoha prvků. Není to však už báze vektorového prostoru (v algebraicekém smyslu). Lze říci, že zatímco je Hamelova báze množina, jejíž lineární obal je roven celému vektorovému prostoru, tak Schauderova báze je množina, pro niž uzávěr jejího lineárního obalu je roven celému Banachovu prostoru. V případě konečně-rozměrných prostorů se pojem Schauderovy báze redukuje na běžnou definici báze vektorového prostoru.
Ortogonální a ortonormální báze
Důležitou roli v prostorech se skalárním součinem, tedy např. v Hilbertových prostorech, hrají báze ortonormální, resp. ortogonální. Na prostorech konečné dimenze je ortogonální báze speciálním případem klasické báze, jejíž prvky navíc splňují vlastnost, že jsou na sebe kolmé. Ortogonální báze konečněrozměrného prostoru se skalárním součinem je tedy množina , která generuje celý prostor a pro jejíž prvky platí:
kde . Ortogonalita vektorů totiž už zajišťuje jejich lineární nezávislost. Častěji užívaná je ale ortonormální báze, která má oproti ortogonální bázi ještě ten požadavek, že mají všechny její prvky jednotkovou velikost a platí:
kde značí Kroneckerovo delta a .
V prostorech nekonečněrozměrných se pak ortogonální báze definuje jako ortogonální množina, která je v daném Hilbertově prostoru totální. Podobně, ortonormální báze je taková podmnožina nekonečněrozměrného Hilbertova prostoru, která je ortonormální a totální v tomto prostoru.
Ortogonální množina je přitom taková množina nenulových vektorů z Hilbertova prostoru, jejíž každé dva prvky jsou ortogonální. Ortonormální množina je pak taková ortogonální množina, jejíž každý prvek má jednotkovou velikost, tj. pro každý její prvek platí . To, že je nějaká množina totální ve své nadmnožině, znamená, že uzávěr jejího lineárního obalu je roven této nadmnožině.
Z vlastností ortonormálních bází lze odvodit velmi užitečné vztahy, jako např. Parsevalovu rovnost, Besselovu nerovnost či rozklad vektoru za pomoci Fourierových koeficientů.
Ukázky
Jednou z bází aritmetického vektorového prostoru je i množina tvořená vektory
Tato báze je ortogonální vůči standardnímu skalárnímu součinu Normalizace těchto tří vektorů, tj. vydělení jejich (Euklidovou) normou, vede na ortonormální bázi prostoru tvaru
Pro ukázku báze nekonečně rozměrného Hilbertova prostoru uvažujme Hilbertův prostor kvadraticky integrabilních funkcí definovaných na intervalu . Lze ukázat, že množina funkcí tvaru
kde index probíhá množinu celých čísel , je ortonormální báze tohoto prostoru. Této bázi se říká trigonometrická báze prostoru .
Jako další příklad si uveďme Hilbertův prostor kvadraticky integrabilních funkcí definovaných na intervalu (-1,1). O něm lze zase ukázat, že jedna z jeho ortonormálních bází je množina tvořená funkcemi tvaru
jsou Legendrovy polynomy a kde .
Vlastnosti Řada vlastností konečných bází vyplývá z Steinitzovy věty o výměně. Ta předpokládá, že je dána konečná množina vektorů generujících vektorový prostor spolu s lineárně nezávislou množinou . Podle věty lze množinu vždy doplnit vhodně vybranými prvky z tak, že vznikne množina generující prostor , která má stejnou mohutnost jako (a navíc tudíž obsahuje i ).
Většina vlastností vyplývajících ze Steinitzovy věty zůstává pravdivá i v případě, že neexistuje konečná generující množina, ale jejich důkazy v nekonečném případě obvykle vyžadují axiom výběru nebo jeho slabší formu, například větu o ultrafiltrech.
Pokud je vektorový prostor nad tělesem , pak platí:
Pokud je lineárně nezávislá podmnožina generující množiny , pak existuje báze , taková že . má bázi (to je předchozí vlastnost s jako prázdnou množinou a ). Tzv. věta o dimenzi: Všechny báze mají stejnou kardinalitu, která se nazývá dimenze . Generující množina je báze právě tehdy, je-li minimální, tj. žádná vlastní podmnožina není také generující množinou . Lineárně nezávislá množina je báze právě tehdy, je-li maximální, tj. není vlastní podmnožinou žádné jiné lineárně nezávislé množiny. Vztah dimenze a báze Každé dvě různé báze daného vektorového prostoru mají stejný počet prvků. Důkaz: Mějme dvě báze a téhož vektorového prostoru. Bez újmy na obecnosti nechť . Protože je báze, lze s její pomocí vyjádřit všechny vektory , které tak leží v lineárním obalu . Použití Steinitzovy věty o výměně vede ihned ke sporu. Nechť je . Pak ve existuje n-členná báze.Důkaz: Z předpokladů ve existuje n-členný lineárně nezávislý soubor vektorů . Aby tento soubor splňoval definiční podmínky báze, stačí ověřit, že libovolný vektor z prostoru je vyjádřen jako lineární kombinace tohoto souboru. Předpokládejme, že existuje vektor , který takto vyjádřit nelze, pak z definice lineární nezávislosti plyne, že (n+1)-členný soubor je lineárně nezávislý. To je ve sporu s definicí dimenze, která říká, že každý (n+1)-členný soubor je lineárně závislý. Nulový vektorový prostor, tj. , nemá bázi.Důkaz: Nulový vektorový prostor obsahuje jen nulový vektor a každý soubor obsahující jen nulový vektor je lineárně závislý, viz první tvrzení v oddílu Ostatní článku Lineární nezávislost. Není tak splněn jeden z definičních požadavků báze.
Konstrukce báze