náhled|250 px|Ilustrace Pythagorovy věty o pravoúhlých trojúhelnících Geometrie (, z gé – země a metria – měření), česky měřičství je matematická věda, která se zabývá otázkami tvarů, velikostí, proporcí a vzájemných vztahů obrazců a útvarů a vlastnostmi prostorů. Geometrie bývá považována za jeden z nejstarších vědních oborů vůbec. V Ottově slovníku naučném heslo Geometrie začíná slovy:
Jednoduché geometrické útvary byly známy již v paleolitu a podrobněji zkoumány ve všech starověkých civilizacích. Geometrie sloužila původně pro praktické účely v zeměměřičství a stavebnictví. Na vědecké úrovni se jim poprvé věnovali staří Řekové. K slavným geometrickým problémům patřily otázky o konstruovatelnosti některých geometrických útvarů pomocí idealizovaného pravítka a kružítka.
Ve středověku a raném novověku ovlivnilo studium astronomie rozvoj sférické geometrie a objevení perspektivy v malířství vznik projektivní geometrie. V 17. století René Descartes objevil souřadnice, což umožnilo vznik analytické geometrie a zkoumání geometrie algebraickými prostředky. V 19. století byl významný vznik neeukleidovských geometrií. Ve 20. století se o rozvoj geometrie zasloužili mj. čeští matematikové Eduard Čech, který se zabýval diferenciální geometrií, a Petr Vopěnka, který kromě teoretických prací napsal řadu popularizačních knih o historii geometrie.
Geometrie má úzkou souvislost s algebrou a fyzikou. Riemannova geometrie popsaná v 19. století našla uplatnění jako model časoprostoru v Einsteinově obecné teorii relativity. V současnosti se geometrie pořád vyvíjí a to jak geometrie praktická (například výpočetní geometrie a počítačová grafika), tak teoretická, která má úzkou souvislost s teoretickou fyzikou.
Historie Starověk
náhled|vlevo|Neolitické umění: kámen zdobený geometrickými motivy (Newgrange, Irsko)
Geometrické útvary patří vedle čísel k nejstarším zkoumaným předmětům matematiky, jednoduchou představu o některých z nich měli lidé zřejmě již v paleolitu, starší době kamenné. V neolitu se pak různé útvary staly základem geometrické ornamentiky na více místech světa. Další rozvoj přišel s nástupem prvních států v Mezopotámii a Egyptě, kde se poznatky o útvarech využívaly v zeměměřičství a stavebnictví. Babylóňané již znali zvláštní případy Pythagorovy věty a egyptští geometři uměli počítat obsah trojúhelníka i kruhu, přičemž jejich odhad čísla pí byl asi 3,1605. K řadě poznatků se dospělo také ve starověké Indii a Číně. náhled|300 px| Oxyrhynský papyrus s fragmentem Eukleidových Základů Na vědeckou úroveň povznesli matematiku staří Řekové. Filozof, matematik a astronom Thalés z Milétu jako jeden z prvních zkoumal geometrické útvary pomocí dedukce a abstraktních úvah. Dokázal například změřit vzdálenost lodě na moři pomocí její relativní velikosti a předpověděl zatmění Slunce v roce 585 př. n. l. Další známou postavou se stal Pythagoras, který žil v 6. století př. n. l. Působil na jihu Itálie a založil tam školu, která byla přístupná mužům i ženám. Na škole měl neomezenou autoritu. Z této doby pochází pravděpodobně formální důkaz Pythagorovy věty, ačkoliv nejstarší zachovalý známe až od Eukleida.
Eukleida dnes považujeme za nejvýznamnějšího geometra starověku. Jeho kniha zvaná Základy (Στοιχεῖα) se stala na dlouhou dobu základní učebnicí geometrie. Eukleides v této knize zachytil abstraktní strukturu geometrických útvarů pomocí definic, axiomů a postulátů. Geometrie vycházející z těchto postulátů se nazývá Eukleidovská geometrie a v moderní formě se dnes učí na základních i středních školách.
Okolo roku 240 př. n. l. změřil jeden z prvních geografů Eratosthenés z Kyrény poloměr Zeměkoule porovnáním velikosti stínů ve dvou městech ve stejném čase. Aristarchos ze Samu podobným způsobem změřil vzdálenost a velikost Měsíce. Trigonometrii rozvinul Hipparchemem ve 2. stol. př. n. l..
Další geometrické konstrukce známé již ve starověku jsou platónská tělesa (Platón je popsal a uvažoval o jejich hlubším smyslu, zatímco Eukleides dokázal, že žádná další takto pravidelná tělesa již neexistují), Zénónovy paradoxy o nekonečném dělení úsečky nebo Archimédovy myšlenky o výpočtu objemu těles, předjímající pozdější integrální počet. Geometrie se týkají také tři slavné problémy, které starověká matematika zanechala nevyřešené: trisekce úhlu, zdvojení krychle a kvadratura kruhu.
Středověk Dláždění girih ve městě Isfahán v Íránu|náhled Ve středověku rozvíjeli geometrii především Arabové. Vznikly trigonometrické tabulky a díky arabskému astronomovi al-Battánímu se objevily první poznatky sférické trigonometrie. Arabský filozof a matematik Thabit ibn Qurra v 9. století mimo jiné odvodil vzorec pro zobecněnou Pythagorovu větu, zahrnující i nepravoúhlé trojúhelníky.
Mnohé zajímavé geometrické útvary možno najít ve středověké islámské architektuře. Jako dekorace některých staveb se například používala dláždění skládající se z pěti typů dlaždiček (tzv. girih dlaždičky), z kterých je podle novějších výzkumů možné sestrojit i kvaziperiodická dláždění. Arabští matematici také uměli algebraicky řešit jisté kubické rovnice a interpretovat výsledky geometricky.
V Evropě se v té době na většinu starověkých znalostí zapomnělo a na nově zakládaných evropských univerzitách pak byla používána literatura, která vznikla překladem matematických spisů z arabštiny do latiny, v geometrii hlavně Eukleidových Elementů.Miroslav Lávicka, Syntetická geometrie, Pomocný ucební text, ZČU Plzeň, str. 9, dostupné online
V raném novověku rozvoj mechaniky podnítil zájem např. o výpočet těžiště.
Novověk a současnost V 17. století zavedl René Descartes do geometrie souřadnice, čímž položil základy analytické geometrie. Analytická geometrie umožňuje vyjadřovat geometrické útvary prostřednictvím rovnic, a řešit geometrické problémy algebraickou a analytickou cestou. Také to umožnilo zobecnění geometrických úvah na n-rozměrné Eukleidovské prostory i pro n>3.
Ke zkoumání geometrických problémů tak bylo možno použít diferenciální a integrální počet, které vznikly díky Isaacu Newtonovi a Gottfriedu Leibnizovi.
Paralelní směr vývoje vedl úsilím geometrů jako Gérard Desargues, Jean-Victor Poncelet, August Ferdinand Möbius či Arthur Cayley k vytvoření projektivní geometrie, původně motivované teorií perspektivy v malířství. Tato geometrie abstrahuje od pojmu metriky (měření vzdáleností) a stojí pouze na axiomech o bodech a přímkách, které se od Eukleidovské geometrie mírně liší (víc odpovídá malířskému plátnu, kde se rovnoběžky "protnou" v nekonečnu).
náhled|350 px|Na sféře (2) nemůžeme vést daným bodem rovnoběžku, přímky se vždy protnou. Na hyperboloidu (3) naopak můžeme vést více rovnoběžek. V 19. století se objevila řada nových proudů a poznatků. Carl Friedrich Gauss, János Bolyai, Nikolaj Ivanovič Lobačevskij a Bernhard Riemann popsali první neeukleidovské geometrie, tj. geometrie, ve kterých nemusí existovat právě jedna rovnoběžka s danou přímkou procházející daným bodem. Tyto konstrukce zároveň ukázaly, že Eukleidův pátý postulát je nezávislý na zbylých čtyřech postulátech (nedá se z nich dokázat ani vyvrátit), což byl v předchozích staletích slavný nevyřešený problém. Riemannova geometrie našla později uplatnění v obecné teorii relativity Alberta Einsteina, kde se fyzikální čas a časoprostor popisuje jako (pseudo) Riemannovská varieta.
Évariste Galois popsal počátkem 19. století symetrii polynomů v jedné proměnné a ukázal, že polynom pátého a vyššího stupně není možné obecně řešit pomocí radikálů. Jeho ideje vedly přímo k teorii grup popsané Nielsem Henrikem Abelem. Teorie grup umožňuje analyzovat symetrie abstraktním způsobem a práce Évarista Galoise nepřímo vedla k vyřešení starověkých problémů trisekce úhlu, zdvojení krychle a kvadratury kruhu. Ukázalo se, že tyto konstrukce obecně nelze vytvořit jenom za pomocí pravítka a kružítka. - stručný důkaz nemožnosti starověkých konstrukcí
Paralelně s tímto vývojem se od konce 19. století objevují různá axiomatická zavedení geometrie (David Hilbert, Alfred Tarski, George David Birkhoff), z nichž nejznámější je Hilbertova axiomatizace. V těchto pojetích se definují základní objekty (obvykle bod, přímka a prostor), relace (například relace bod je mezi dvěma jinými body apod.) a soustava axiomů, ze kterých se dokazují všechna další tvrzení.
Další významné nové myšlenky do geometrie přinesl Felix Klein ve vlivném Erlangenském programu v roce 1872. Popsal geometrii pomocí grupy symetrií, které zachovávají nějakou strukturu. Pro Eukleidovskou geometrii je to grupa všech posunutí, otočení a zrcadlení, která zachovává vzdálenosti bodů a úhly vektorů. Podle Kleinova přístupu byla každá ze známých geometrií plně charakterizována grupou zachovávající strukturu, která je příslušné geometrii vlastní. Tento přístup vedl ke studiu tzv. Lieových grup, ke kterému výrazně přispěli Sophus Lie a Élie Cartan, který zavedl velmi obecnou definici geometrie, zahrnující všechny tehdy známé geometrické struktury.
Ve 20. století se geometrie nadále vyvíjela více paralelními směry. Geometrie jsou obvykle popisovány jako matematický prostor (hladká varieta nebo topologický prostor) a nějaká další struktura na něm. Převádění těchto struktur, které se často objevují v moderní fyzice, na univerzální Cartanovu definici geometrie, řeší tzv. problém ekvivalence, který se v různých podobách objevuje po celé dvacáté století. Od 50. let je populární podobor geometrie tzv. algebraická geometrie (významnými představiteli jsou například Jean-Pierre Serre a Alexander Grothendieck), která studuje vlastnosti algebraických variet.
Přestože je geometrie nejstarší oblastí matematiky, dodnes se vyvíjí. V roce 1995 dokázal Andrew Wiles slavnou velkou Fermatovu větu pomocí teorie eliptických křivek, což je jeden ze současných geometrických oborů. Od konce 70. let je v matematice populární Langlandsův program, což je řada hypotéz, které dávají do souvislostí problémy Teorie čísel a reprezentace jistých grup. Geometrická reformulace tohoto programu byla navržena Gérardem Laumonem a Vladimirem Drinfeldem. Studium geometrických struktur má také úzkou souvislost s řešením parciálních diferenciálních rovnic a problém existence a počtu řešení takových soustav se dá studovat pomocí geometrických metod. Od 80. let 20. století se objevují pokusy studovat problémy pravděpodobnosti a matematické statistiky pomocí metod diferenciální geometrie, což vedlo k zavedení pojmu informační geometrie. V současnosti je také studována tzv. Finslerova geometrie, což je jisté zobecnění Riemannovy geometrie (umíme měřit vzdálenosti, ale úhly vektorů nikoliv).
Na přelomu 20. a 21. století definoval Clayův matematický institut sedm tzv. "problémů tisíciletí". Jeden z nich, Hodgeova domněnka, je (zatím nevyřešený) problém z algebraické geometrie. Jiný, Poincarého domněnka, se týká klasifikace jisté třídy třírozměrných variet a byl (jako zatím jediný) vyřešen v roce 2002 ruským matematikem Grigorijem Perelmanem, který následnou milionovou odměnu i Fieldsovu medaili odmítl.
Členění geometrických oborů Následuje neúplný seznam nejvýznamnějších a nejznámějších konceptů a podoborů, které se v geometrii vyskytují.
Eukleidovská geometrie
Eukleidovská geometrie se zabývá vlastnostmi a vztahy geometrických útvarů v Eukleidovském prostoru, tj. v prostoru, ve kterém platí Eukleidovy postuláty. Jedná se o historicky nejstarší geometrii, která byla důkladně popsána a studována už ve starém Řecku.
V této geometrii jsou definovány body, přímky, úsečky, kružnice, vzdálenosti bodů a také velikosti a úhly vektorů. Součet úhlů v každém trojúhelníku je 180 stupňů a v pravoúhlých trojúhelnících platí Pythagorova věta. Důležitou částí Eukleidovy geometrie jsou konstrukce pravítkem a kružítkem, které se učí na základních a středních školách.
Eukleidova geometrie se využívá například v počítačové grafice a krystalografii. Slouží také jako fyzikální model prostoru v klasické fyzice a jako teoretický základ deskriptivní geometrie.