Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar:
Nesou jméno Wolfganga Pauliho.
Algebraické vlastnosti
kde označuje jednotkovou matici.
Determinanty a stopy Pauliho matic jsou:
Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σi jsou ±1.
Společně s jednotkovou maticí I, která bývá někdy zapisována jako σ0, tvoří Pauliho matice ortogonální bázi vůči Hilbertově–Schmidtově normě na Hilbertově prostoru reálných hermitovských matic, , případně Hilbertově prostoru komplexních matic, .
Komutační relace Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:
kde je Levi-Civitův symbol, je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice.
Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru: .
Např.
Další relace Např.
kde index značí transponování matice.
Fyzika
V kvantové mechanice představuje každá Pauliho matice pozorovatelnou popisující orientaci spinu částice se spinem ½ v třírozměrném prostoru. Matice představují generátory rotací pro nerelativistické částice se spinem ½. Kvantový stav částice je představován dvoukomponentovým spinorem. Částice se spinem ½ mají tu vlastnost, že musí být otočeny o úhel , aby se vrátily do svého původního stavu.
Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako . Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. Spinové matice pro spin a mají tvar:
Reference
Související články Moment hybnosti Poincarého grupa Pauliho rovnice
Kategorie:Algebra Kategorie:Kvantová fyzika