náhled|Kostra (červeně) grafu (černě) náhled|Tři příklady na mřížkovém grafu 8x8 V teorii grafů je kostra souvislého grafu G takový podgraf souvislého grafu G na množině všech jeho vrcholů, který je stromem.
Příklady Kružnice na n vrcholech (graf ) má právě n různých koster. Libovolný strom má jedinou kostru – sám sebe. Úplný graf na n vrcholech má právě různých koster (tzv. Cayleyho vzorec).
Algoritmy pro hledání kostry
Libovolná kostra Následující základní algoritmus je schopen nalézt nějakou (blíže neurčenou) kostru: Nechť je graf s n vrcholy a m hranami; seřaďme hrany G libovolně do posloupnosti ; položme . Byla-li již nalezena množina , spočítáme množinu takto: ∪ {}, neobsahuje-li graf (V, ∪ ) kružnici, jinak. Algoritmus se zastaví, jestliže buď již obsahuje n − 1 hran nebo i = m, tedy se probraly všechny hrany z G. Graf pak představuje kostru grafu G.
Minimální kostra náhled|Minimální kostra grafu Je-li navíc definována funkce (tzv. ohodnocení hran), má smysl hledat minimální kostru – tedy takovou kostru , že výraz
nabývá minimální hodnoty.
Tuto úlohu řeší několik algoritmů, které jsou označovány jako hladové, neboť jednou provedená rozhodnutí už nikdy nemění, čili „hladově“ postupují přímo k řešení.
Předpokládejme, že je dán souvislý graf G = (V, E) s ohodnocením w:
Kruskalův algoritmus
Předpokládejme navíc, že hrany jsou uspořádány tak, že platí .
Pro toto uspořádání provedeme algoritmus pro hledání libovolné kostry (viz výše).
Borůvkův algoritmus
Předpokládejme, že ohodnocení hran v grafu je prosté. Algoritmus pracuje ve fázích tak, že postupně spojuje komponenty souvislosti (na počátku je každý vrchol komponentou souvislosti) do větších a větších celků, až zůstane jen jediný, a to je hledaná minimální kostra. V každé fázi vybere pro každou komponentu souvislosti hranu s co nejnižší cenou, která směřuje do jiné komponenty souvislosti a tu přidá do kostry.
Jarníkův algoritmus
Nechť a . Položme , kde v je libovolný vrchol G. Nalezneme hranu nejmenší možné váhy z množiny hran takových, že . Položíme a . Pokud žádná taková hrana neexistuje, algoritmus končí a , jinak pokračuj krokem 2.
Nejrychlejší známý deterministický algoritmus pro hledání minimální kostry grafu vytvořil Bernard Chazelle modifikací Borůvkova algoritmu. Asymptotická časová složitost tohoto algoritmu je O(E α(V)), kde α je inverzní Ackermannova funkce.
Literatura Jiří Matoušek, Jaroslav Nešetřil: Kapitoly z diskrétní matematiky, nakladatelství Karolinum, Praha 2002, Jakub Černý: Základní grafové algoritmy (texty v pdf)
Externí odkazy
Kruskalův algoritmus- animace a příklady, bakalářská práce z MFF UK Maximální kostra grafu – využití algoritmu pro zjištění maximální kostry grafu pro link building
Kategorie:Grafové pojmy