Banachova věta o pevném bodě (nebo také Banachova věta o kontrakci) říká, že v neprázdném úplném metrickém prostoru existuje pro danou kontrakci právě jeden pevný bod.
Znění věty Nechť je neprázdný úplný metrický prostor a je kontrakce na . Pak existuje právě jeden prvek takový, že .
Důkaz je kontrakce, existuje tedy takové, že pro všechny platí
.
Zvolme libovolně . Dále sestrojme posloupnost zadanou rekurzí pro jako . Nyní ukážeme, že tato posloupnost je Cauchyovská, tedy
Pro dané , a (bez újmy na obecnosti volíme ) hledáme . Z trojúhelníkové nerovnosti pro metriku plyne
dále z vlastnosti kontrakce a sečtením členů geometrické posloupnosti
Limita posledního výrazu pro je nula, pro každé tedy existuje , že
a posloupnost je tedy Cauchyovská. Protože je metrický prostor úplný, Cauchyovská posloupnost konverguje k nějakému .
z věty o limitě složené funkce (vnější funkce je spojitá, protože každá kontrakce je spojitá)
je tedy pevným bodem zobrazení .
Zbývá ukázat, že je jediným pevným bodem. Ukážeme to sporem – předpokládejme, že existují pevné body a .
protože je kladné můžeme obě strany krátit a zbude
,
což je spor, protože .
Externí odkazy
Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Funkcionální analýza Kategorie:Numerická matematika