náhled|Replika římského abaku. Namísto bronzových kuliček se používaly oblázky (latinsky calculus). Matematická analýza ( [] „řešení“, starořecky ἀναλύειν ánalýein „řešit“) je jednou ze základních disciplín matematiky. Metody matematické analýzy mají velký význam v přírodních a technických vědách. Základy matematické analýzy se zejména v anglosaských zemích označují jako calculus, kalkul neboli počet, což se po roce 2000 prosazuje někdy i do češtinyIlja Černý, Úvod do inteligentního kalkulu : 1000 příkladů z elementární analýzy. Praha : Academia, 2002, slovo calculus pochází z latiny a značí oblázek, oblázky se používaly ve starověkém Římě v abacích, což byly desky s drážkami, ve kterých se oblázky posunovaly obdobně jako korálky na drátěném počítadle.

Základními oblastmi matematické analýzy je diferenciální početV. Jarník: Diferenciální počet (I). Academia, Praha 1984V. Jarník: Diferenciální počet (II). Academia, Praha 1984 (funkce, limity, derivace) a integrální početV. Jarník: Integrální počet (I). Academia, Praha 1984V. Jarník: Integrální počet (II). Academia, Praha 1984 (primitivní funkce a neurčité integrály, určité integrály včetně metrických prostorů a teorie míry). Dále sem patří teorie obyčejných i parciálních diferenciálních rovnic, integrálních rovnic, diferenciální geometrie, a další oblasti (posloupnosti, řady).G. J. Šilov: Matematická analýza. Alfa, Bratislava 1974, str. 9

Historie První kroky v analýze byly učiněny již v počátcích řecké matematiky v období antiky. Například nekonečná geometrická řada byla známa již tehdy díky Zénonovým aporiím.„Nekonečné řady byly v řecké matematice přítomny, [...] Není pochyb, že Zénonův dichotomický paradox (Sekce 4.1) se zabývá například rozložením čísla 1 do nekonečné řady 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + 1/2^4 + ... a že Archimedes nalezl oblast parabolického segmentu (Sekce 4.4) vlastně sčítáním nekonečné řady 1 + 1/4 + 1/4^2 + 1/4^3 + ... = 4/3. Oba tyto příklady jsou zvláštními případy toho, co dnes označujeme jako součet geometrické řady“ Později řečtí matematici jako například Eudoxos a Archimédés vytvořili ještě jasnější, ovšem zatím neformální, použití konceptu limit a konvergence, když používali metodu vyčerpání ke spočtení obsahu resp. objemu dvourozměrných resp. třírozměrných objektů a dále v 12. století v Indii vytvořil matematik Bháskara II. koncepci diferenciálního počtu. Základy matematické analýzy vznikají až v době, kdy byl přesně definován infinitezimální počet, nezávisle na sobě Leibnizem a Newtonem. Úspěch infinitezimálního počtu se časem promítnul do oblastí jako diferenciální rovnice, diferenciální geometrie, tenzorový počet, variační počet a komplexní analýza.

Předmět zkoumání Původně se matematická analýza studovala v oboru reálných, později komplexních čísel. Studium funkcí definovaných v takto dostatečně obecných podmínkách také poskytuje pohodlnou metodu získávání informací o tom, jak se funkce mění v prostoru, stejně jako v čase (viz obecná teorie relativity). V současnosti se metody matematické analýzy aplikují mj. např. ve studiu topologických prostorů resp. algebraické geometrie, tj. aplikací funkcionální analýzy s cílem hlubšího porozumění analýze v abstraktnějších prostorech. Jedním z příkladů může být Fourierova analýza, kde jsou funkce vyjádřeny pomocí určité nekonečné řady exponenciálních resp. goniometrických funkcí, taková dekompozice je užitečná k rozložení libovolné např. zvukové či elektromagnetické vlny až na jednotlivé frekvenční součásti. Členy ve Fourierově rozvoji funkce mohou být také uvažovány jako vektory nekonečně dimenzionálního prostoru, který je známý jako Hilbertův prostor (viz kvantová mechanika).

Aplikace Vývoj a použití kalkulu (diferenciálního a integrálního počtu) a matematické analýzy měl a má dalekosáhlé důsledky pro téměř všechny aspekty života v moderním světě. Je používán téměř ve všech vědách, především ve fyzice. Prakticky všechny moderní výdobytky, různé technologie používající se například ve stavebnictví, strojírenství, letectví, balistice atd. užívají infinitezimální počet přímo ve svých základech. Mnoho matematických vzorců, které jsou dnes používané v energetice a průmyslu a jiných praktických vědách, byly odvozené prostřednictvím kalkulu.

Odkazy Reference

Literatura Matematická analýza nejen pro fyziky (I) až (III) , Praha : Matfyzpress, 2004 až 2007, , , , Jiří Kopáček Measure and integral, Praha : Matfyzpress, 2005, , Jaroslav Lukeš, Jan Malý

Související články Lineární algebra Funkcionální analýza

Externí odkazy

Největší vědecké spory historie: Kdo první objevil derivaci? – 21. století, Martin Janda (19. 02. 2007)

Analýza