Dělitelnost

Dělitelnost je vlastnost dvojic celých čísel. Celé číslo p je dělitelné nenulovým celým číslem q (číslo q dělí p) právě tehdy, když p je celočíselným násobkem q, tj. jestliže existuje takové celé číslo k, pro které platí, že

p = kq.

Tato relace se obvykle značí . Např. číslo 27 je dělitelné třemi, neboť 27 = 9 · 3. Jiná definice: p je dělitelné q, jestliže zbytek po dělení je nula.

Formální definice Pro definujeme relaci dělitelnosti jako Podle konvence se někdy přidává předpoklad , ale obvykle není nutný.

Obecně Číslo p se nazývá dělenec, číslo q se nazývá dělitel, číslo k se nazývá podílem čísla p při dělení číslem q, (jednoznačně určen s výjimkou pro p=0) v oboru celých čísel mají čísla p a −p tytéž dělitele, čísla 1, −1, p a −p se nazývají nevlastní (triviální) dělitelé čísel p a −p, existují-li ještě další dělitelé, nazývají se vlastní dělitelé (netriviální), každé celé číslo mimo nulu je dělitelem nuly, nula ale není dělitelem žádného celého čísla různého od nuly.

Vlastnosti dělitelnosti Pro všechna platí: (reflexivita) (tranzitivita) (Jestliže a dělí b, tak a dělí jakýkoli násobek b.) (Když a dělí dvě čísla, tak a dělí i jejich součet.)

Prvočísla Přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze číslem 1 a samo sebou, se nazývá prvočíslo. Přirozené číslo větší než 1, které není prvočíslem, se nazývá složené číslo.

Dělitelnost prvočíslem Pro každé přirozené číslo a větší jedné existuje alespoň jedno prvočíslo p, které dělí a. Pokud navíc a je složené, tak .

Důkaz je následovný:

Množina dělitelů a bez 1 je konečná, nechť tedy p je její minimum. Pokud a je prvočíslo, tak a = p, tím pádem existuje prvočíslo, které dělí a.

Pokud a je složené, tak p je prvočíslo. Tento fakt lze dokázat sporem. Předpokládejme, že p není prvočíslo. Potom p = q · r (1 < q < p < a). Ovšem pokud p dělí a a q dělí p, tak q dělí a. Avšak 1 < q < p, což odporuje faktu, že p je nejmenší dělitel a větší jedné. Z toho vyplývá, že p je prvočíslo.

Zbývá dokázat, že .

Nechť a = p · k ( k ∈). Platí p ≤ k · p ≤ , p · k = a ≤

Prvočinitel Prvočíslo, které dělí číslo p, se nazývá prvočinitel. Každé složené číslo lze napsat jako součin prvočinitelů. Tento zápis (pokud nebereme v úvahu pořadí prvočinitelů) je pro každé číslo jedinečný (viz faktorizace).

Každé prvočíslo s výjimkou čísla 1 má jen 2 dělitele; sebe samo a 1. Číslo 1 má jen sebe samo a tudíž má exkluzivní postavení, není ani prvočíslem ani číslem složeným.

Dvě čísla se nazývají soudělná, když mají společného dělitele většího než 1. Pokud takového dělitele nemají, pak se nazývají nesoudělná.

Kritéria dělitelnosti Následující tabulka obsahuje kritéria dělitelnosti celých čísel v desítkové číselné soustavě, která umožňují snadno zjistit, je-li celé číslo dělitelné malým číslem q. Pokud je kritériem dělitelnost výsledku nějakého postupu, lze na něj opět použít stejný postup.

q kritérium příklad0 dělení nulou není v celých číslech definováno1 všechna celá čísla jsou dělitelná 1 1, 6, 3292 je-li na místě jednotek sudé číslo 128, 1 1023 je-li ciferný součet dělitelný 3 228 → 2+2+8 = 12 → 1+2 = 3 4 je-li poslední dvojčíslí dělitelné 4 612, 1 1085 je-li na místě jednotek 5 nebo 0 35, 10 0406 je-li číslo dělitelné 2 a 3 (viz výše) 924, 29 9527je-li rozdíl součtu lichých a sudých trojic cifer dělitelný 7 2 022 048 → 002-022+048 = 28je-li sedmi dělitelný součet vypočtený tak, že se první až n-tá číslice odzadu vynásobí postupně čísly (periodicky se opakujícími): 1, 3, 2, 6, 4, 5 138 309 241 → 1×1+4×3+2×2+9×6+0×4+3×5+8×1+3×3+1×2=105 → 5×1+0×3+1×2=7je-li rozdíl zbývající části a poslední číslice vynásobené 2 dělitelný 7 1 946 → 194 − (2×6) = 182 → 18 − (2×2) = 14je-li součet zbývající části a poslední číslice vynásobené 5 dělitelný 7 1 946 → 194 + (5×6) = 224 → 22 + (5×4) = 42je-li po opakovaném odečítání z čísla násobků 7 končících na stejnou cifru (mohou být jakékoliv) a následném dělení čísla deseti výsledek nula (když číslo není dělitelné 7, výsledek přejde do záporných čísel)7 436 429 − 49 = 7 436 380 / : 10743 638 − 28 = 743 610 / : 1074 361 − 91 = 74 270 / : 107 427 − 7 = 7 420 / : 10742 − 42 = 700 / : 1070 – 70 = 08je-li poslední trojčíslí dělitelné 8 12 504je-li poslední dvojčíslí dělitelné 8 a na místě stovek je sudé číslo 208, 123 672 je-li poslední dvojčíslí zvětšené (či zmenšené) o 4 dělitelné 8 a na místě stovek je liché číslo104, 234 7609 je-li ciferný součet dělitelný 9 1 683 → 1+6+8+3=18 → 1+8 = 9 → OK10 je-li na místě jednotek 0 1 120, 2 28011je-li rozdíl součtu číslic na sudém a lichém místě dělitelný jedenácti 5 357 → −5 +3 −5 +7 = 0 → OKje-li součet jednotlivých dvojčíslí dělitelný 11 5 357 → 53 + 57= 110 → OK je-li rozdíl trojčíslí na sudých a lichých místech dělitelný 11 5 357 → −5 + 357 = 35212 je-li číslo dělitelné 3 a 4 (viz výše) 65 520 → 6+5+5+2+0=18 → dělitelné 3 → OK; 65 520 → 20/4=5 → OK13 je-li rozdíl součtů lichých a sudých trojic cifer dělitelný třinácti 2 022046 → 2 + 46 − 22 = 26 → dělitelné 13 → OK14 je-li číslo dělitelné 2 a 7 (viz výše) 868, 5 56415 je-li číslo dělitelné 3 a 5 (viz výše) 930, 1 17016je-li poslední čtyřčíslí dělitelné 16 736, 1 156, 21 152je-li součet čtyřnásobku zbývající části a posledního dvojčíslí dělitelný 16 11 312 → (4×113) + 12 = 464 → (4×4) + 64 = 8017je-li výsledek následujícího postupu dělitelný sedmnácti: střídavě se odečítají a přičítají dvojice cifer vynásobené 2 a mezivýsledky se vždy dělí dvěma. Konečný výsledek se pak vynásobí násobkem deseti tak, aby vyšlo celé číslo. 51 153 → ((53−(2×11))/2 + 2×5 = 25,5 a 255 je dělitelné 17)je-li rozdíl zbývající části a pětinásobku poslední číslice dělitelný 17 867 → 86 − (5×7) = 51 je dělitelné 1718 je-li číslo dělitelné 2 a 9 (viz výše) 1 134, 16219 je-li součet zbývající části a dvojnásobku poslední číslice dělitelný 19 10 735 → 1 073+(2×5) = 1 083 → 108+(2×3) =114 → 11+(2×4) = 1920je-li číslo dělitelné 4 a 5 (viz výše) je-li poslední dvojčíslí dělitelné 20 1 180, 5 542 20021je-li číslo dělitelné 3 a 7 (viz výše)je-li rozdíl zbývající části a dvojnásobku poslední číslice dělitelný 21273 → 27 − (2×3) = 21 22je-li číslo dělitelné 2 a 11 (viz výše)396, 1 47423je-li součet zbývající části a sedminásobku poslední číslice dělitelný 233128 → 312+(7×8) = 368 → 36+(7×8) = 92je-li součet zbývající části a trojnásobku posledních 2 číslice dělitelný 231725 → 17+(3×25) = 9224je-li číslo dělitelné 3 a 8 (viz výše)456, 1 65625 je-li poslední dvojčíslí 00 nebo dělitelné 25 – tedy 25, 50 nebo 75 125, 15 57530 je-li číslo dělitelné 3 a 10 (viz výše) 4 490, 631 110 40 je-li poslední trojčíslí 000 nebo dělitelné 40 5 200, 6 84050 je-li poslední dvojčíslí 00 nebo 50 550, 700100 je-li poslední dvojčíslí 00 15 500, 7001000 je-li poslední trojčíslí 000 154 000, 7 00010 000 je-li poslední čtyřčíslí 0000 154 0000, 7 0000

Obecné kritérium dělitelnosti Libovolné kritérium dělitelnosti lze zapsat jako ciferný součet s vahami – číslo x je dělitelné prvočíslem n právě když Σk αkak je dělitelné n, kde x = a0 + 10a1 + 100a2 + 1000a3 + … + 10nan, neboli je zapsáno v poziční soustavě se základem 10.

Jednotlivé váhy v ciferném součtu jsou řešení jednoduchých kongruencí . Řešení jsou tedy zbytky po dělení 10k/n.

Například číslo x je dělitelné 17 právě když a0 − 7a1 − 2a2 − 3a3 + 4a4 + 6a5 − 8a6 + 5a7 − a8 + 7a9 + 2a10 + 3a11 − 4a12 − 6a13 + 8a14 − 5a15 + a16 + … je dělitelné 17.

Externí odkazy BAKALÁŘSKÁ PRÁCE DĚLITELNOST – modely dělitelnosti v různých soustavách a v gaussových oborech integrity

Kategorie:Teorie čísel Kategorie:Aritmetika