Fangernes dilemma eller fangens dilemma er et berømt spil fra spilteorien. Det er et spil mellem to deltagere, der kan vælge enten at optræde imødekommende eller aggressivt overfor modparten. Spillets paradoks er, at det er individuelt rationelt for begge spillere at optræde aggressivt, men det medfører samtidig en ligevægt, der giver begge et dårligere udbytte, end hvis de begge havde været imødekommende. Navnet skyldes, at spillet ofte præsenteres som en historiefortælling, hvor de to spillere er to fængslede personer, der afhøres af politiet. De kan enten vælge at vidne imod den anden fange (optræde aggressivt) eller holde mund med, hvad de ved om modparten (være imødekommende). Der er dog egentlig tale om et abstrakt og generelt spil, der kan afspejle mange forskellige situationer.
Spillet tilsigter at vise, hvordan samarbejde og mistillid påvirker beslutningstagning, især når man ikke kan kommunikere direkte. Det illustrerer, hvordan to rationelle individer kan vælge at handle på en måde, der ikke er optimal for nogen af dem, fordi de ikke kan stole på hinanden. Spillet viser, hvordan samarbejde og mistillid påvirker beslutningstagning, især når spillerne ikke kan indgå bindende aftaler med hinanden.
Teorien bag fangernes dilemma stammer fra spilteori, som er en gren af matematikken, der analyserer strategiske beslutninger mellem to eller flere aktører. Det centrale teoretiske begreb kaldes Nash-ligevægt, navngivet efter John Forbes Nash. Dilemmaets struktur bygger på fire delelementer, som rangordnes efter de mulige udfald:
Fristelsen til at opnå et positivt udfald Belønningen for at samarbejde Den mulige straf Forræderens mulige belønning
Spillernes overvejelser resulterer i tre mulige udfald:
Hvis begge nægter at tilstå, får de begge en mild straf (fx 1 år) Hvis den ene tilstår og den anden tier, går den, der tilstår, fri, mens den anden får en hård straf (fx 10 år) Hvis begge tilstår, får de begge en mellemstraf (fx 5 år).
Spillets forløb
Spillet spilles af to personer, som hver især kan vælge at samarbejde med eller forråde den anden. Dette skaber et dilemma.
To mistænkte er blevet anholdt af politiet. De to personer holdes adskilt, så de ikke kan kommunikere, og samtidig holdes uvidende om den anden parts vidnesbyrd. Politiet har ikke beviser nok til at få dem dømt for deres grove forbrydelse, men de kan få de mistænkte fængslet i et halvt år for en mindre forbrydelse. I den oprindelige version giver politiet hver af de mistænkte dette valg: De kan vælge at forråde den anden eller holde mund. Hvis begge holder mund, får de hver et halvt års fængsel, hvis den ene forråder den anden og den anden holder mund, slipper forræderen fri og den anden får ti års fængsel, og hvis begge forråder den anden, får de hver fem års fængsel. Skal de mistænkte forråde den anden, eller skal de holde mund?
Modellen viser, at begge fanger har incitament til at tilstå for at opnå en kortere straf, uanset hvad den anden gør. Det betyder, at det mest sandsynlige udfald er, at begge tilstår (”snyder”), selvom de ville få en mildere straf ved begge at tie (samarbejde). Det bedste resultat for gruppen opnås altså kun, hvis begge samarbejder, men den rationelle egoistiske strategi er at snyde I illustrationen vises det samme dilemma skrevet op som en udbyttematrix. Det ses, at uanset hvad den anden fange gør, får man den korteste straf, hvis man forråder den anden ved at tilstå. Men hvis begge forråder den anden, får begge fem års fængsel, hvilket er værre for begge parter end det halve års fængsel, de ville få hvis begge holdt mund. Spillets formål er således at undersøge betingelserne for, at individuelle rationelle beslutninger kan give kollektive gevinster.
I denne klassiske udgave er udfaldet a priori deterministisk, idet den rationelle beslutning er at begge tilstår. Uanset om strafudmålingen ændres vil udfaldet være det samme, således at dilemmaet fastholdes. Hvis spillet gentages kan denne determinisme omgås ved en "gengæld for gengæld" "Tit for tat" er et engelsk udtryk for en strategi, hvor den ene fanges beslutning afhænger af den anden fanges beslutning i den foregående runde. Dermed illustrerer det fangernes dilemma, hvordan rationelle valg på individniveau kan føre til mindre optimale resultater for gruppen som helhed. Formelt kan hver spillers optimale strategi udregnes ved at sammenligne payoff-værdierne og vælge den handling, der maksimerer deres egen forventede gevinst, når modpartens mulige valg er givet. Dette er grundlæggende i overensstemmelse med Rational choice-teoriens teoreme.Blume, Lawrence E. og David Easley (2008): "rationality." The New Palgrave Dictionary of Economics. Second Edition. Red. Steven N. Durlauf og Lawrence E. Blume. Palgrave Macmillan, 2008. The New Palgrave Dictionary of Economics Online. Palgrave Macmillan. Besøgt 2. oktober 2017.Netop tesen om egennytte og rationelle valg er omstridt iblandt de førende teoretikere, jf. artiklen Beslutningstagen
Teori Den teoretiske baggrund for spilkonceptet kan illustreres i en matematisk formel. Hvis begge samarbejder, får de belønningen "R" (fra engelsk:Reward). Hvis den ene fristes til at snyde og den anden samarbejder: snyderen får belønning for at lade sig friste "T" (fra engelsk: Temptation), samarbejderen får "sorteper" (på engelsk S (Sucker). Hvis begge fristes til at snyde, før begge en straf "P" (fra engelsk:Punishment)
Nu gælder forholdet: T > R > P > S. Det vil sige, at fristelsen (T) er højere end belønningen for at samarbejde (R), som igen er højere end straffen for gensidig snyd (P). Dårligste udfald opstår, hvis man bliver snydt, mens man selv samarbejder (S).
Dette benyttes i praksis til at understrege, at gensidig tillid og evnen til at indgå bindende aftaler er af afgørende betydning, hvis det i et socialt system skal forhindres, at rationelle aktører ofte med at træffe valg, der giver et dårligere samlet resultat, hvilket kaldes for en suboptimal eller inefficient ligevægt.
Historie Opfindelsen af spillet tilskrives normalt Merrill Flood og Melvin Dresher, to ansatte ved tænketanken RAND Corporation, der i 1950 gennemførte et eksperiment, hvor de lod to af deres kollegaer spille et spil med strukturen fra Fangernes Dilemma 100 gange i træk. Resultaterne fra eksperimentet blev offentliggjort i 1952 i en RAND-rapport. Den ledsagende illustrative historie med fanger og fængselsstraffe tilskrives den canadiske matematiker Albert W. Tucker i et forsøg på at gøre ideen bag Flood og Dreshers spil mere tilgængeligt for en gruppe psykologer fra Stanford University.
En af de førende teoretikere på området er Robert Axelrod, som har opstillet teoretiske forudsøtninger og udgiver flere publikationer om emnet.Han udfolder bl.a. teorien og dens implikationer i:
Strategi Hvis fangernes dilemma spilles et endeligt antal gange, og begge spillere ved dette, så er den dominerende strategi ifølge Nash-ligevægten at snyde i alle runder. Beviset er induktivt: man kan lige så godt snyde i sidste runde, da modstanderen ikke får en chance for at vende tilbage. Derfor vil begge spillere forsøge at snyde i sidste runde. Det samme grundprincip gælder, hvis spillets længde er ukendt, men har en kendt øvre grænse.
For at et bedre samarbejde kan opstå mellem rationelle spillere, skal antallet af runder være ukendt eller uendeligt. I så fald er "altid snyd" ikke nødvendigvis længere en dominerende strategi. Et centralt begreb i denne forbindelse, især når spillet gentages flere gange, er strategien ”Tit for Tat”. Kernen i denne strategi er, at man i første runde samarbejder, og derefter gør præcis det samme som modparten gjorde i forrige runde: hvis den anden samarbejder, samarbejder man selv; hvis den anden snyder, snyder man også. Strategien får derfor ikke den oprindelige betydning, fordi den både belønner samarbejde og straffer snyd.
Denne strategi er oprindelig påvist af Robert Aumann i en artikel fra 1959, hvor konklusionen er, at rationelle spillere, der gentagne gange interagerer i et spil uden fast afslutning, kan få en gevinst ved at samarbejde. Omvendt har sandsynligheden for at samarbejde en tendens til at stige over tid, fordi der opstår en slags "stille aftale" mellem deltagerne. I eksperimentelle situationer kan samarbejde forekomme, selv når begge deltagere ved, hvor mange runder der spilles. Ifølge et eksperimentelt studie fra 2019 i American Economic Review, der undersøgte hvilke strategier rigtige forsøgspersoner brugte i gentagne fangernes dilemma-spil med overvågning, var de mest valgte strategier altid at snyde.
Udvidelser De eksperimentelle forsøg har medført, at flere forskere har angivet muligheder for at udvide analysen med supplerende modeller. En af mulighederne er at inddrage stokastiske variable, hvor spillernes valg ikke er fastlagt a priori, men i stedet bestemmes på baggrund af sandsynligheder. Det vil sige, at nu har spillerne et valg mellem at samarbejde eller snyde med den angivne sandsynlighed.
På denne måde kan man estimere variationer i adfærden, hvilket ofte er mere realistisk i virkelige situationer end en forudsætning om forudbestemt adfærd. I praksis betyder det, at sandsynligheden for spillernes valg benyttes til at beregne den forventede gevinst for hver enkelt strategi.
Stokastiske strategier kan suppleres med at inddrage Markov-kæder i analysen. Her antages det, at spillet gentages flere gange, og at sandsynligheden for en spillers næste valg afhænger af den forrige spiltilstand. Hver mulig kombination af handlinger (begge samarbejder, én snyder, begge snyder) udgør en tilstand i Markov-kæden.
Overgangssandsynlighederne mellem disse tilstande kan opstilles i en overgangsmatrix, hvor hver indgang angiver sandsynligheden for at gå fra én position til en anden, givet spillernes strategier. Ved at analysere denne matrix kan man finde den langsigtede sandsynlighed for at befinde sig i hver enkelt tilstand. Denne fordeling gør det muligt at beregne den gennemsnitlige payoff for hver spiller over tid, hvilket giver et mere nuanceret billede af strategiernes effektivitet i gentagne spil.
En Markov-kædeanalyse kan typisk anvendes til at undersøge dynamikken mellem samarbejde og snyd. Teorien bag Markovanalyserne omfatter overgangsligninger og ligevægtsligninger, hvor overgangsligninger beskriver udviklingen af sandsynligheder fra runde til runde, mens ligevægtsligninger beskriver den stationære fordeling i situationer, hvor sandsynlighederne ikke længere ændrer sig.Parzen, E. (1962) Stochastic Processes, Holden-Day. (Table 6.1)Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP. (entry for "Markov chain")Dodge, Y. The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP.
Anvendelser
Situationer, som minder om fangernes dilemma, angives som velkendte i mange virkelige sammenhænge. Det nævnes ofte, at den værste situation, man kan havne i, er at tage sin del af slæbet, uden at der kommer noget ud af den samlede indsats. Man betaler så at sige prisen to gange.
Et eksempel er to konkurrerende handlende, som deltager i en priskrig. Hver af de handlende ved, at hvis han sænker sin pris, vil han tiltrække nogle af konkurrentens kunder og kan dermed forøge sin profit. Begge vælger derfor at sænke priserne, hvormed resultatet bliver, at ingen af dem får flere kunder, men begge en lavere profit end før. Ligeledes kan landmænd, der forøger deres produktion, anskues som eksempler på dilemmaet. En enkelt landmand kan tjene flere penge ved at forøge sin produktion, men gør alle landmændene det, bliver markedet oversvømmet, og priserne falder til ugunst for alle udbyderne.Davis, Morton D., Brams, Steven J.. "game theory". Encyclopedia Britannica, 21 november 2025, besøgt 3. december 2025.