miniatura|derecha|230px|Geometría espaciotemporal de las coordenadas de Born. Las líneas rojas representan las líneas del mundo (por congruencia) de los puntos del disco. Las bandas entrelazadas azules y grises muestran el paso del tiempo T. Las curvas naranjas ( / \ ) son como curvas de tiempo con radio R fijo. En física relativista, las coordenadas de Born son un sistema de coordenadas para una parte del espacio-tiempo de Minkowski, el espacio-tiempo plano de la teoría de la relatividad especial. A menudo se utiliza para analizar la experiencia física de los observadores que viajan en un anillo o disco rígido rotando a velocidades relativistas. Este sistema se atribuye a menudo a Max Born, debido a su trabajo de 1909 en la física relativista de un cuerpo en rotación (véase rigidez de Born).

Observadores de Langevin en un sistema de coordenadas cilíndrico

Para justificar el sistema de Born, se debe considerar en primer lugar la familia de observadores de Langevin representados en un sistema de coordenadas cilíndricas ordinario para el espacio-tiempo de Minkowski. Las líneas del mundo de estos observadores forman una congruencia de tiempo rígida en el sentido de su tensor de dilatación de fuga. Representan observadores que rotan de manera rígida en torno a un eje de simetría cilíndrica.

Desde una de estas líneas

se pueden establecer los marcos locales de Lorentz de observadores estacionarios (inerciales)

Aquí, es un vector unitario ligado al tiempo, mientras que los otros tres son vectores unitarios geométricos; en cada caso, los cuatro son mutuamente ortogonales y determinan el marco de Lorentz infinitesimal del observador estático cuya línea del mundo pasa a través de ese evento.

Al mismo tiempo, impulsando estos campos de referencia en la dirección , se obtiene el campo de referencia buscado que describe la experiencia física de los observadores de Langevin, a saber,

Al parecer, este marco se introdujo por primera vez (implícitamente) por Paul Langevin en 1935; su primera 'utilización' 'explícita' parece haber sido efectuada por T. A. Weber (¡en una fecha tan posterior como 1997!)

Se define en la región de 0 < R < 1/ω; esta limitación es fundamental, puesto que lejos del origen, la velocidad de los observadores de Langevin se aproxima a la velocidad de la luz.

derecha|Parte de la línea del mundo helicoidal de un típico observador de Langevin (curva roja), representada en el sistema cilíndrico, con sus conos del horizonte de sucesos futuros (color dorado) y con los vectores de sus sistemas de referencia de Langevin (trazos negros). En esta figura, la coordenada Z no es esencial y ha sido suprimida. El cilindro blanco muestra un lugar de radio constante; la línea verde discontinua representa el eje de simetría R=0. La línea azul es una curva integral del vector unitario del azimut.. Cada curva integral de la unidad de campo vectorial de tipo tiempo aparece en la tabla cilíndrica como una hélice con radio constante (por ejemplo, la curva de color rojo en la figura de la derecha). Supóngase que se elige un observador de Langevin y se considera los otros observadores que se desplazan en un anillo de radio R que está rígidamente en rotación con velocidad angular ω. Entonces, si se toma una curva integral (curva helicoidal azul en la figura de la derecha) de la base de espacio-tiempo , se obtiene una curva que podría esperarse interpretar como una "línea de simultaneidad" para los observadores situados en el anillo. Pero, como se ve en la figura, los relojes ideales de cada uno de estos observadores del anillo no pueden ser sincronizados. Este es el primer indicio de que no es tan fácil como se podría esperar el definir una noción satisfactoria de geometría espacial en algo tan sencillo a priori como un anillo giratorio, y mucho menos en un disco en rotación.

derecha|Esta figura representa las líneas del mundo de un observador de Langevin de referencia (curva roja) y de sus vecinos próximos (curvas azules de puntos). Se muestra un cuarto de giro de la órbita del observador de referencia alrededor del eje de simetría (línea verde vertical). Calculando la descomposición de la congruencia de Langevin, se tiene que el vector aceleración toma la forma

Apunta radialmente hacia el interior, y depende únicamente del radio (constante) de cada línea del mundo helicoidal. El tensor de expansión se anula idénticamente, lo que significa que los observadores cercanos de Langevin mantienen constante la distancia el uno del otro. El vector de rotación es

paralelo al eje de simetría. Esto significa que los vecinos más cercanos de cada observador de Langevin están rotando sobre su propia línea del mundo, tal como sugiere la figura de la derecha. Se trata de una especie de "remolino" o de vorticidad local.

Por el contrario, la proyección de las hélices sobre uno cualquiera de los planos de corte espaciales ortogonales a las líneas del mundo de los observadores estáticos da un círculo, que por supuesto es una curva cerrada. Aún mejor, las coordenadas del vector base forman un espacio tipo Killing, cuyas curvas integrales son curvas cerradas de tipo espacial (círculos, de hecho), que degeneran, además, a la longitud cero en el eje R = 0. Esto expresa el hecho de que esta construcción de espacio-tiempo goza de simetría cilíndrica, y también exhibe una especie de noción global de la rotación de los observadores de Langevin.

En la figura, la curva de color magenta muestra cómo los vectores espaciales están girando sobre (que se suprime en la figura donde la coordenada z no es esencial). Es decir, los vectores no son transportados de acuerdo con las reglas de diferenciación de Fermi–Walker lo largo de la línea del mundo, por lo que el marco de Langevin se gira, así como su referencia no inercial. En otras palabras, en la deducción directa de coordenadas de Langevin, se mantuvo el marco de referencia alineado con la coordenada radial de la base de vectores . Mediante la introducción de una rotación de velocidad constante del sistema local que lleva cada observador de Langevin sobre sí , se podría plantear una versión giroestabilizada.

Transformación de coordenadas de Born

Para obtener el sistema de coordenadas de Born, basta enderezar las líneas del mundo helicoidales de los observadores de Langevin utilizando una sencilla transformación de coordenadas

El nuevo elemento de línea es

Nótese que los "términos cruzados" que se aplican sobre , implican que el sistema de Born no es un sistema ortogonal de coordenadas gráficas. Las coordenadas de Born también se designan a veces como coordenadas cilíndricas de rotación.

En el nuevo gráfico, las líneas del mundo de los observadores de Langevin aparecen como líneas rectas verticales. De hecho, se pueden transformar fácilmente los cuatro campos de vectores que constituyen el marco de Langevin en el nuevo sistema. Se obtiene

Estos son exactamente los mismos campos vectoriales anteriores, que ahora simplemente se representan en un gráfico de coordenadas diferente.

Huelga decir que, en el proceso de "desenrollado" de las líneas del mundo de los observadores de Langevin, que aparecían como hélices en la tabla cilíndrica, es como si se "diese cuerda" a las líneas del mundo de los observadores estáticos, que ahora aparecen como hélices en el sistema de born. Téngase en cuenta también que, al igual que en el marco de Langevin, el gráfico de Born solo se define en la región de 0 < r < 1/ω.

Si se recalcula la descomposición cinemática de los observadores de Langevin a lo largo de sus líneas de congruencia temporal , se obtiene la misma respuesta que se dio antes, solo que expresa en los términos del nuevo sistema. Específicamente, el vector aceleración es

el tensor de expansión se desvanece, y el vector de rotación es

derecha|Un intento de definir la noción del "espacio en cada instante" para los observadores de Langevin, representado en el sistema de Born. Este intento está condenado a fallar por al menos dos razones. La figura representa la región 0 < r < 1 cuando ω = 1/5, con una discontinuidad en φ = π. El radio con el que se han formado las curvas integrales para formar la superficie empieza con φ=0 (en el lado más alejado de la imagen). El campo covector dual del campo de vectores unidad de tipo temporal, en cualquier sistema de coordenadas representa planos espaciales infinitesimales. Sin embargo, el teorema de integrabilidad de Frobenius impone una fuerte restricción de si estos elementos hiperplano espaciales pueden ser o no "entrelazados" para formar una familia de hipersuperficies espaciales, ortogonales a las líneas del mundo de la congruencia. De hecho, resulta que esto es posible, en cuyo caso se dice que la congruencia es de hipersuperficie ortogonal , si y solo si el vector rotación se anula idénticamente. Por lo tanto, mientras que los observadores estáticos en el gráfico cilíndrico admiten una familia única de '' hiperplanos ortogonales, los observadores de Langevin no admiten tales hiperplanos. En particular, las superficies espaciales en el sistema de Born son ortogonales a los observadores estáticos, no a los observadores de Langevin. Esta es la segunda (y mucho más acentuada) indicación de que la definición de "la geometría espacial de un disco giratorio" no es tan simple como podría esperarse.

Para entender mejor este punto crucial, téngase en cuenta que las curvas integrales del tercer sistema de vectores de Langevin

que pasan a través del radio . (Para mayor comodidad, se suprime la coordenada z, no esencial para la deducción). Estas curvas se encuentran en la superficie

que se muestra en la figura. Si se considera esto como un "espacio unitario" para los observadores de Langevin, surgen dos problemas:

En primer lugar, el teorema de Frobenius indica que son tangentes a cualquier hiperplano no espacial. De hecho, excepto en el radio inicial, los vectores , no se encuentran en ningún plano de sección. Por lo tanto, mientras aparezca una hipersuperficie espacial, será ortogonal a las líneas del mundo de solamente algunos de los observadores de Langevin. Debido a la restricción del teorema de Frobenius, puede entenderse en términos del fracaso de los campos de vectores para formar un álgebra de Lie, esta restricción es diferencial, según la teoría de Lie. Es decir, se trata de una especie de obstrucción infinitesimal a la existencia de una noción satisfactoria de planos de sección para los observadores en rotación.

En segundo lugar, como muestra la figura, el intento de sección llevaría a una idea discontinua del tiempo debido a los saltos en las curvas integrales (que se muestran como una discontinuidad color naranja). Alternativamente, se podría tratar de utilizar un tiempo de varios valores. Ninguna de estas alternativas parece muy atractivo. Esto es, evidentemente, una restricción universal. Esto es una consecuencia de la imposibilidad de sincronizar los relojes de los observadores de Langevin situados incluso en un anillo. Para un disco el problema es aún más complejo.

El efecto Sagnac

Imagínese que se ha fijado un cable de fibra óptica alrededor de la circunferencia de un anillo que gira con velocidad angular constante ω. Se desea calcular el tiempo del viaje de ida y vuelta, según lo medido por un observador en el anillo, para un pulso de láser enviado en sentido horario y otro antihorario alrededor del cable. Para simplificar, se pasa por alto el hecho de que la luz viaja a través de un cable de fibra óptica con una velocidad algo menor que la velocidad de la luz en el vacío, considerando que la línea del mundo del pulso láser sea una curva nula (pero no una geodésica nula).

En el origen de la línea se impone que . Esto da

o

Se obtiene para el tiempo de viaje de ida y vuelta