En física, una ecuación de continuidad expresa una ley de conservación de forma matemática, ya sea de forma integral como de forma diferencial.
Una ecuación de continuidad o equación de transporte es una ecuación que describe el transporte de una magnitud. Resulta especialmente sencilla y eficaz cuando se aplica a una magnitud conservada, pero puede generalizarse para aplicarse a cualquier magnitud extensiva. Dado que la masa, la energía, el impulso, la carga eléctrica y otras cantidades naturales se conservan en sus respectivas condiciones adecuadas, se pueden describir diversos fenómenos físicos utilizando ecuaciones de continuidad.
Las ecuaciones de continuidad son una forma local más fuerte de las leyes de conservación. Por ejemplo, una versión débil de la ley de conservación de la energía establece que la energía no puede crearse ni destruirse, es decir, que la cantidad total de energía en el universo es fija. Esta afirmación no descarta la posibilidad de que una cantidad de energía pueda desaparecer de un punto y aparecer simultáneamente en otro. Una afirmación más fuerte es que la energía se conserva «localmente»: la energía no puede crearse ni destruirse, «ni» puede «teletransportarse» de un lugar a otro; solo puede desplazarse mediante un flujo continuo. Una ecuación de continuidad es la forma matemática de expresar este tipo de afirmación. Por ejemplo, la ecuación de continuidad para la carga eléctrica establece que la cantidad de carga eléctrica en cualquier volumen de espacio solo puede variar en la cantidad de corriente eléctrica que fluye hacia o desde ese volumen a través de sus límites.
Las ecuaciones de continuidad, en términos más generales, pueden incluir términos de «fuente» y «sumidero», lo que les permite describir magnitudes que a menudo, aunque no siempre, se conservan, como la densidad de una especie molecular que puede crearse o destruirse mediante reacciones químicas. En un ejemplo cotidiano, existe una ecuación de continuidad para el número de personas vivas; tiene un «término de fuente» que tiene en cuenta a las personas que nacen, y un «término de sumidero» que tiene en cuenta a las personas que mueren.
Cualquier ecuación de continuidad puede expresarse en «forma integral» (en términos de una integral de flujo), que se aplica a cualquier región finita, o en «forma diferencial» (en términos del operador de divergencia), que se aplica en un punto.
Las ecuaciones de continuidad subyacen a ecuaciones de transporte más específicas, como la ecuación de convección-difusión, la ecuación de transporte de Boltzmann y las ecuaciones de Navier-Stokes.
Los flujos regidos por ecuaciones de continuidad pueden visualizarse mediante un diagrama de Sankey.
Ecuación general
Definición de flujo
Una ecuación de continuidad resulta útil cuando se puede definir un «flujo». Para definir el flujo, primero debe existir una magnitud que pueda fluir o moverse, como la masa, la energía, la carga eléctrica, el impulso, el número de moléculas, etc. Sea la densidad de volumen de esta cantidad, es decir, la cantidad de por unidad de volumen.
La forma en que fluye esta cantidad viene descrita por su flujo. El flujo de es un campo vectorial, que denotamos como j. A continuación se muestran algunos ejemplos y propiedades del flujo: La dimensión del flujo es «cantidad de que fluye por unidad de tiempo, a través de una unidad de área». Por ejemplo, en la ecuación de continuidad de masa para el agua que fluye, si 1 gramo por segundo de agua fluye a través de un tubo con área de sección transversal de 1 cm2, entonces el flujo de masa medio dentro de la tubería es , y su dirección es a lo largo de la tubería en la dirección en la que fluye el agua. Fuera de la tubería, donde no hay agua, el flujo es cero. Si existe un campo de velocidad que describe el flujo en cuestión —en otras palabras, si toda la cantidad en un punto se mueve con velocidad —, entonces el flujo es, por definición, igual a la densidad multiplicada por el campo de velocidad:
Por ejemplo, si en la ecuación de continuidad de masa para el agua en movimiento, es la velocidad del agua en cada punto y es la densidad del agua en cada punto, entonces sería el flujo de masa, también conocido como el caudal. En un ejemplo muy conocido, el flujo de carga eléctrica es la densidad de corriente eléctrica.
Si existe una superficie imaginaria , entonces la integral de superficie del flujo sobre es igual a la cantidad de que atraviesa la superficie por unidad de tiempo:
en la que es una integral de superficie.
Téngase en cuenta que el concepto que aquí se denomina «flujo» se denomina alternativamente «densidad de flujo» en algunas publicaciones, en cuyo contexto «flujo» denota la integral de superficie de la densidad de flujo. Véase el artículo principal sobre Flujo para más detalles.
Forma integral La forma integral de la ecuación de continuidad establece que: La cantidad de en una región aumenta cuando entra adicional a través de la superficie de la región, y disminuye cuando sale; La cantidad de en una región aumenta cuando se crea nuevo dentro de la región, y disminuye cuando se destruye ; Aparte de estos dos procesos, no hay «ninguna otra forma» de que cambie la cantidad de en una región.
Matemáticamente, la forma integral de la ecuación de continuidad que expresa la tasa de aumento de dentro de un volumen es:
derecha|miniatura|250px|En la forma integral de la ecuación de continuidad, es cualquier superficie cerrada que encierra completamente un volumen , como cualquiera de las superficies de la izquierda. no puede ser una superficie con bordes, como las de la derecha. (Las superficies son azules, los bordes son rojos.) donde es cualquier superficie cerrada imaginaria que encierra un volumen , denota una integral de superficie sobre esa superficie cerrada, es la cantidad total de la magnitud en el volumen , es el flujo de , es el tiempo, es la tasa neta a la que se genera dentro del volumen por unidad de tiempo. Cuando se está generando (es decir, cuando ), la región se denomina «fuente» de , y hace que sea más positivo. Cuando se destruye (es decir, cuando ), la región se denomina «sumidero» de , y hace que sea más negativo. El término se escribe a veces como o el cambio total de desde su generación o destrucción dentro del volumen de control.
En un ejemplo sencillo, podría ser un edificio, y el número de personas vivas que hay en él. La superficie estaría formada por las paredes, las puertas, el techo y los cimientos del edificio. Entonces, la ecuación de continuidad establece que el número de personas vivas en el edificio (1) aumenta cuando las personas vivas entran en el edificio (es decir, cuando hay un flujo hacia dentro a través de la superficie), (2) disminuye cuando las personas vivas salen del edificio (es decir, cuando hay un flujo hacia fuera a través de la superficie), (3) aumenta cuando alguien en el edificio da a luz a una nueva vida (es decir, cuando hay una tasa de cambio positiva en el tiempo dentro del volumen), y (4) disminuye cuando alguien en el edificio deja de vivir (es decir, cuando hay una tasa de cambio negativa en el tiempo dentro del volumen). En conclusión, en este ejemplo hay cuatro formas distintas en que la tasa neta puede verse alterada.
Forma diferencial
Según el teorema de la divergencia, una ecuación de continuidad general también puede expresarse en «forma diferencial»:
donde es la divergencia, es la densidad de la cantidad (es decir, la cantidad por unidad de volumen), es el flujo de (es decir, j = ρv, donde v es el campo vectorial que describe el movimiento de la cantidad ), es el tiempo, es la generación de por unidad de volumen por unidad de tiempo. Los términos que generan (es decir, ) o eliminan (es decir, ) se denominan fuentes y sumideros, respectivamente.
Teoría electromagnética
En teoría electromagnética, la ecuación de continuidad viene derivada de dos de las ecuaciones de Maxwell. Establece que la divergencia de la densidad de corriente es igual al negativo de la derivada de la densidad de carga respecto del tiempo:
En otras palabras, sólo podrá haber un flujo de corriente si la cantidad de carga varía con el paso del tiempo, ya que esta disminuye o aumenta en proporción a la carga que es usada para alimentar dicha corriente.
Esta ecuación establece la conservación de la carga.
Coherencia con las ecuaciones de Maxwell
Una de las ecuaciones de Maxwell, la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell), establece que
Si se toma la divergencia de ambos lados (la divergencia y la derivada parcial con respecto al tiempo son conmutativas), se obtiene
pero la divergencia de un rotacional es cero, por lo que
La corriente es el movimiento de la carga. La ecuación de continuidad establece que, si la carga sale de un volumen diferencial, es decir, la divergencia de la densidad de corriente es positiva, la cantidad de carga dentro de ese volumen disminuirá, por lo que la tasa de variación de la densidad de carga es negativa. Por lo tanto, la ecuación de continuidad equivale a una ley de conservación de la carga.
Si existieran los monopolos magnéticos, también habría una ecuación de continuidad para las corrientes de monopolo; véase el artículo sobre los monopolos para conocer los antecedentes y la dualidad entre las corrientes eléctricas y magnéticas.
Mecánica de fluidos
En mecánica de fluidos, una ecuación de continuidad es una ecuación de conservación de la masa. Su forma diferencial es:
donde es la densidad, t el tiempo y la velocidad del fluido.
Es una de las tres ecuaciones de Euler.
donde es la densidad del fluido, es el tiempo, es el campo vectorial de la velocidad de flujo.
La derivada temporal puede entenderse como la acumulación (o pérdida) de masa en el sistema, mientras que el término de divergencia representa la diferencia entre el flujo de entrada y el de salida. En este contexto, esta ecuación es también una de las Ecuaciones de Euler. Las ecuaciones de Navier-Stokes forman una ecuación de continuidad vectorial que describe la conservación de la cantidad de movimiento.
Si el fluido es incompresible la tasa de deformación volumétrica es cero, la ecuación de continuidad de masa se simplifica a una ecuación de continuidad de volumen:
lo que significa que la divergencia del campo de velocidad es cero en todas partes. Físicamente, esto equivale a decir que la tasa de dilatación volumétrica local es cero, por lo que un flujo de agua a través de un tubo convergente se ajustará únicamente aumentando su velocidad, ya que el agua es en gran medida incompresible. Visión artificial
En visión artificial, el flujo óptico es el patrón de movimiento aparente de los objetos en una escena visual. Suponiendo que el brillo del objeto en movimiento no ha variado entre dos fotogramas, se puede derivar la ecuación del flujo óptico de la siguiente forma:
donde es el tiempo, son las coordenadas en la imagen, es la intensidad de la imagen en la coordenada y el tiempo , es el vector de velocidad del flujo óptico en la coordenada de la imagen y el tiempo Energía y calor La conservación de la energía establece que la energía no se crea ni se destruye. (Véase más abajo para conocer los matices relacionados con la relatividad general.) Por lo tanto, existe una ecuación de continuidad para el flujo de energía:
donde , densidad de energía local (energía por unidad de volumen), , flujo de energía (transferencia de energía por unidad de área de sección transversal por unidad de tiempo) como vector,