miniaturadeimagen|292x292px|Manuscrito de Gottfried Leibniz representando la numeración binaria. El sistema binario, también llamado sistema diádicoThomas: Cálculo infinitesimal y geometría analítica, Aguilar, Madrid. Véase también Drae en ciencias de la computación, es un sistema de numeración en el que los números son representados utilizando únicamente dos cifras: 0 (cero) y 1 (uno). Es uno de los sistemas que se utilizan en las computadoras, debido a que estas trabajan internamente con dos niveles de voltaje (0 apagado, 1 encendido), por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario.Se usa el BCD, hexadecimal, etc; "Matemática digital" ISBN 958-600-821-5.
Historia del sistema binario miniaturadeimagen|310x310px|Página del artículo Explication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz. El sistema numérico binario moderno fue estudiado en Europa en los siglos y por Thomas Harriot, Juan Caramuel Lobkowitz y Gottfried Leibniz. Sin embargo, los sistemas relacionados con números binarios han aparecido antes en múltiples culturas, incluido el antiguo Egipto, China e India. Leibniz se inspiró específicamente en el I Ching chino. Egipto Oudjat|Valores aritméticos que se cree que han sido representados por partes del Ojo de Horus|thumb Los escribas del antiguo Egipto usaban dos sistemas diferentes para sus fracciones, las fracciones egipcias (no relacionadas con el sistema numérico binario) y las fracciones del Ojo de Horus (llamadas así porque muchos historiadores de las matemáticas creen que los símbolos usados para este sistema podrían organizarse para formar el ojo de Horus, aunque esto ha sido discutido). Las fracciones del Ojo de Horus son un sistema de numeración binaria para cantidades fraccionarias de granos, líquidos u otras medidas, en el que una fracción de hekat se expresa como una suma de las fracciones binarias 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 y 1/64. Las primeras formas de este sistema se pueden encontrar en documentos de la Quinta Dinastía de Egipto, aproximadamente en el 2400 a. C., y su forma jeroglífica completamente desarrollada data de la Decimonovena Dinastía de Egipto, aproximadamente en el 1200 a. C.
China Trigrama taoísta|thumb En la antigua China, en el texto clásico del I Ching, se describe una serie completa de 8trigramas y 64hexagramas (análogos a 3bits) y números binarios de 6bits.
El erudito y filósofo chino Shao Yong en el desarrolló un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generarlo.
India El antiguo matemático indio Acharya Pingala desarrolló un sistema binario para describir la prosodia. Utilizó números binarios en forma de sílabas cortas y largas (estas últimas iguales en longitud a dos sílabas cortas), haciéndolo similar al código Morse. Eran conocidas como sílabas laghu (ligeras) y guru (pesadas).
Otras culturas Los residentes de la isla de Mangareva en la Polinesia Francesa usaban un sistema híbrido binario-decimal antes de 1450. También han sido utilizadas series similares de combinaciones binarias en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.
Predecesores occidentales de Leibniz
En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.
En 1670 Juan Caramuel publica su libro Mathesis Biceps; y en las páginas XLV a XLVIII da una descripción del sistema binario.
Leibniz y el I Ching El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Gottfried Leibniz, en el , en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó un sistema matemático de dos variables - 0/1 - para transformar términos lingüísticos y, de esta manera, distribuir información, al igual que el sistema binario actual.
Desarrollos posteriores En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.
Aplicaciones En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implantaba el Álgebra de Boole y la aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.
En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó una calculadora basada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en inglés "kitchen")— que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1939, con Stibitz al mando.
El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Estadounidense de Matemática, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.
Representación En el sistema binario solo se necesitan dos cifras.
En informática, un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de usar dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:
1010011011¦−¦−−¦¦−¦¦xoxooxxoxxynynnyynyy
El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada.
De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números arábigos, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes:
100101 binario (declaración explícita de formato) 100101b (un sufijo que indica formato binario) 100101B (un sufijo que indica formato binario) bin 100101 (un prefijo que indica formato binario) 1001012 (un subíndice que indica formato en base 2 o binario) %100101 (un prefijo que indica formato binario) 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de programación)
Conversión entre binario y decimal
Decimal a binario Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente hasta que el dividendo sea menor que el divisor, 2. Es decir, cuando el número a dividir sea 1 finaliza la división.A continuación se ordena desde el último cociente hasta el primer resto, simplemente se colocan en orden inverso a como aparecen en la división. Este será el número binario que buscamos.
Ejemplo Transformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:
131 dividido entre 2 da 65 con residuo igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 con residuo igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 con residuo igual a 0 16 dividido entre 2 da 8 con residuo igual a 0 8 dividido entre 2 da 4 con residuo igual a 0 4 dividido entre 2 da 2 con residuo igual a 0 2 dividido entre 2 da 1 con residuo igual a 0 el último cociente es 1
-> Ordenamos los residuos, del último al primero: 10000011
En sistema binario, 131 se escribe 10000011.
Ejemplo Transformar el número decimal 100 en binario.
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Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta que ya no sea posible y se coloca el número 1. Después solo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo arriba.
Ejemplo
100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2 12|0 6|0 3|1 1|1 -->
Ejemplo
Para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una serie de divisiones que arrojarán los siguientes resultados: 77 / 2 = 38 Residuo ==> 1 38 / 2 = 19 Residuo ==> 0 19 / 2 = 9 Residuo ==> 1 9 / 2 = 4 Residuo ==> 1 4 / 2 = 2 Residuo ==> 0 2 / 2 = 1 Residuo ==> 0 Último cociente ==> 1
Ahora tomando el último cociente y los residuos en orden inverso, el resultado es: 1001101(binario)
Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8primeras potencias de 2, ya que la siguiente, , es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, , para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.
Ejemplo
20= 1|1 21= 2|1 22= 4|1 23= 8|0 24= 16|1 25= 32|0 26= 64|0 27= 128|1
Decimal a binario mediante función matemática Para transformar un número decimal a binario mediante una notación matemática:
Esta función recursiva llamada , se llama a sí misma dividiendo y aplicandole la función piso (se le aplica la función piso para llevar la división a su valor entero más bajo), pero solo se llama a sí misma, si, y solo si , entonces la función da como salida:
Ahora, con esta función recursiva podemos convertir cualquier número decimal a binario. Si a la función recursiva le damos de entrada , nos dará un conjunto que contendría el mismo en binario:
Decimal (con decimales) a binario Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario: Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente). Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte decimal del resultado). Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.
Ejemplo 0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario). Proceso: 0,3125 * 2 = 0,625 => 0 0,625 * 2 = 1,25 => 1 0,25 * 2 = 0,5 => 0 0,5 * 2 = 1 => 1 En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)
Ejemplo