El rompecabezas MU es un rompecabezas formulado por Douglas Hofstadter y encontrado en Gödel, Escher, Bach que involucra un sistema formal simple llamado "MIU". La motivación de Hofstadter es contrastar el razonamiento dentro de un sistema formal (es decir, derivar teoremas) contra el razonamiento sobre el sistema formal en sí. MIU es un ejemplo de un sistema post canónico y puede reformularse como un sistema de reescritura de cadenas.
El rompecabezas Supongamos que existen los símbolos , , y que se pueden combinar para producir cadenas de símbolos. El rompecabezas MU le pide a uno que comience con la cadena "axiomática" y la transformes en la cadena usando en cada paso una de las siguientes reglas de transformación:
Aquí:caracter I.
| Nr. | COLSPAN=3 | Regla formalAquí, x e y son variables, que representan cadenas de símbolos. Una regla puede usarse a solo a toda la cadena, no a subcadena concreta. | Explicación informal | COLSPAN=3 | Ejemplo |- | 1. |ALIGN=RIGHT | x || → || x | Agregue la al final de cualquier cadena que termine en |ALIGN=RIGHT | || a || |- | 2. | ALIGN=RIGHT | x || → || xx | Duplica la secuencia después de | ALIGN=RIGHT | || a || |- | 3. | ALIGN=RIGHT | xy || → || xy | Reemplaza cualquier con una | ALIGN=RIGHT | || a || |- | 4. | ALIGN=RIGHT | xy || → || xy | Elimina cualquier | ALIGN=RIGHT | || a ||
Solución El rompecabezas no se puede resolver: es imposible cambiar la cadena a aplicando repetidamente las reglas dadas. En otras palabras, MU no es un teorema del sistema formal MIU. Para probar esto, uno debe salir "fuera" del sistema formal en sí. Para probar afirmaciones como esta, a menudo es beneficioso buscar una invariante ; es decir, alguna propiedad que no cambia mientras se aplican las reglas. En este caso, se puede ver el número total de en una cadena. Solo las reglas segunda y tercera cambian este número. En particular, la regla dos lo duplicará mientras que la regla tres lo reducirá en 3.Ahora, la propiedad invariable es que el número de 's no es divisible por 3: Al principio, el número de 's es 1, que no es divisible por 3. Duplicar un número que no es divisible por 3 no lo hace divisible por 3. Restar 3 de un número que no es divisible por 3 tampoco lo hace divisible por 3. Por lo tanto, el objetivo de con cero no se puede lograr porque 0 es divisible por 3.
En el lenguaje de la aritmética modular , el número n de obedece a la congruencia
donde a cuenta con qué frecuencia se aplica la segunda regla.
Un criterio decidible para la derivabilidad En términos más generales, las cuatro reglas anteriores pueden derivar una cadena x dada de manera arbitraria si, y solo si , x respeta las tres propiedades siguientes: x solo se compone de una y cualquier cantidad de y , x comienza con , y el número de en x no es divisible por 3.
Prueba Sólo si: No hay ninguna regla que mueva la , cambie el número de , o introduzca cualquier carácter de ,,. Por lo tanto, cada x deriva de respecto a las propiedades 1 y 2. Como se mostró anteriormente, también respeta la propiedad 3.
Si: Si x respeta las propiedades de la 1 a la 3,deja a y ser el número de y en x, respectivamente, y deja a .Por la propiedad 3, el número de no puede ser divisible por 3, por lo tanto, tampoco lo puede ser. Es decir, . | and .Tal siempre existe, ya que las potencias de 2 se evalúan alternativamente a 1 y 2, módulo 3. Comenzando desde el axioma , aplicando la segunda regla veces, se obtiene ... con .Ya que es divisible por 3, por la interpretación de , aplicando la tercera regla se obtendrán ......, con exactamente , seguidos de algún número de . El recuento de siempre se puede hacer de manera uniforme, aplicando la primera regla si es necesario. Aplicando la cuarta regla con la suficiente frecuencia, todo se puede eliminar, obteniendo así ... with .Aplicando la tercera regla para reducir las triples a en los lugares correctos obtendrá x. x se ha derivado de . Ejemplo Para ilustrar la interpretación del Si, la cadena , que respeta las propiedades de la 1 a la 3, conduce a , , , ; por tanto, puede derivarse de la siguiente manera: .
Aritmetización El Capítulo XIX de Gödel, Escher, Bach ofrece un plano del sistema MIU a la aritmética, de la siguiente manera: En primer lugar, cada secuencia MIU se puede traducir a un número entero mediante la asignación de las letras , , y a los números 3,1 y 0, respectivamente. (Por ejemplo, la cadena se asignaría a 31010.) En segundo lugar, el axioma único del sistema MIU, es decir, la cadena , se convierte en el número 31 Tercero, las cuatro reglas dadas arriba se convierten en las siguientes
| Nr. | COLSPAN=3 ALIGN=CENTER | Regla formal Aquí, k y m representan números naturales arbitrarios, y n es cualquier número natural menor de 10m. Cada regla de la forma "x → y" debe leerse como : "si hemos hecho x podemos hacer y "."Como lo ilustra la columna Ejemplo, una regla puede aplicarse solo a un número MIU completo, no a una parte concreta de su representación decimal | COLSPAN=4 ALIGN=CENTER | Ejemplo
| 1. | ALIGN=RIGHT | k × 10 + 1 || → || 10 × (k × 10 + 1) | ALIGN=RIGHT | 31 || → || 310 | ALIGN=LEFT | (k = 3) |- | 2. | ALIGN=RIGHT | 3 × 10m + n || → || 10m × (3 × 10m + n) + n | ALIGN=RIGHT | 310 || → || 31010 | ALIGN=LEFT | (m = 2, n = 10) |- | 3. | ALIGN=RIGHT | k × 10m + 3 + 111 × 10m + n || → || k × 10m + 1 + n | ALIGN=RIGHT | 3111011 || → || 30011 | ALIGN=LEFT | (k = 3, m = 3, n = 11) |- | 4. | ALIGN=RIGHT | k × 10m + 2 + n || → || k × 10m + n | ALIGN=RIGHT | 30011 || → || 311 | ALIGN=LEFT | (k = 3, m = 2, n = 11)
(NB: La representación de las reglas anteriores concretamente la primera, difiere superficialmente de la del libro,donde está escrita como "[i]f hemos hecho 10m + 1, entonces podemos hacer 10 × (10m + 1)". Aquí, sin embargo, la variable m estaba reservada para su uso solamente en exponentes de 10, y por lo tanto, se reemplazó por k en la primera regla. Además, en esta representación, la disposición de los factores en esta regla se hizo consistente con la de las otras tres.)
Notas
Categoría:Acertijos lógicos Categoría:Rompecabezas sin solución