thumb|300px|Trisección de Arquímedes, usando un método neusis. Se vale de una regla en la que se marca la distancia AB (igual al radio de la cirunferencia, OQ). El ángulo que triseca el ángulo principal, se obtiene haciendo pivotar y deslizar la regla por el punto P (que define el ángulo dado POQ), hasta lograr que el punto A se sitúe sobre el eje horizontal, y que el punto B se sitúe sobre la circunferencia. Se ilustra para los ángulos α (>90°) y β (<90°)
La trisección del ángulo es uno de los tres problemas clásicos de la antigua matemática griega. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás.
El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto o si en el barrido por la circunferencia total puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero es imposible de resolver en general, como demostró Pierre Wantzel en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, de 1837. Su demostración utiliza la teoría de Galois.
La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la antigüedad griega que sobrevivió sin ser resuelto hasta el , junto con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo. Este último fue resuelto en el mismo artículo por Wantzel, demostrando su irresolubilidad. La cuadratura del círculo también es imposible, como probó Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882.
Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas a la regla y el compás. Por ejemplo, el método neusis, también conocido por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla graduada, lo que no se puede lograr con las herramientas originales. Los matemáticos desarrollaron otras técnicas en los siglos posteriores.
Debido a que el problema de la trisección del ángulo está definido en términos simples, pero es complejo hasta el punto de ser irresoluble, se convirtió en un tema frecuente de intentos pseudomatemáticos de resolución por parte de entusiastas ingenuos. Estas soluciones a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o simplemente son incorrectas.
Antecedentes y enunciado del problema thumb|La bisección de ángulos arbitrarios se conoce desde la antigüedad
Usando solamente una regla sin marcar y un compás, los matemáticos griegos encontraron la manera de dividir una línea recta en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, dibujar rectas paralelas, bisecar ángulos, construir algunos polígonos regulares y generar cuadrados de igual o dos veces el área de un determinado polígono.
Sin embargo, tres problemas específicos resultaron ser especialmente esquivos: trisecar un ángulo, duplicar un cubo y cuadrar un círculo. El problema de la trisección del ángulo se enuncia así:
Prueba de imposibilidad thumb|left|Reglas graduadas. Las que se muestran están marcadas: una regla ideal no está marcada thumb|left|Compases
Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar clásicamente un ángulo arbitrario en 1837. La prueba de Wantzel, reformulada en terminología moderna, usa el álgebra abstracta de extensión de cuerpos, un tema que ahora se combina típicamente con la teoría de Galois. Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Galois (cuyo trabajo se publicó en 1846) y no utilizó la conexión entre extensiones de cuerpos y grupos que es el tema específico de la teoría de Galois.Para conocer la base histórica de la demostración de Wantzel en la obra anterior de Ruffini y Abel, y su sincronización respecto a Galois, véase .
El problema de construir un ángulo de una medida dada es equivalente a construir dos segmentos de manera que la razón de su longitud sea . De una solución a uno de estos dos problemas, se puede pasar a la solución del otro mediante una construcción con regla y compás. Existe una expresión trigonométrica que relaciona los cosenos del ángulo original y de su trisección:
De ello se deduce que, dado un segmento que se define con una longitud unitaria, el problema de la trisección del ángulo es equivalente a construir un segmento cuya longitud es la raíz de un polinomio de tercer grado. Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.
Todo número racional es construible. Cada número irracional que es construible con regla y compás en un solo paso a partir de algunos números dados es una raíz de un polinomio de grado 2 con coeficientes en el cuerpo al que pertenecen estos números. Por lo tanto, cualquier número que se pueda construir mediante una secuencia finita de pasos es una raíz de un polinomio mínimo cuyo grado es una potencia de dos. El ángulo radianes (60 grados, 60°) es construible. El siguiente argumento demuestra que es imposible construir un ángulo de 20°, lo que implica que no se puede trisecar un ángulo de 60° y, por lo tanto, que no se puede trisecar un ángulo arbitrario.
Denótese el conjunto de los números racionales por . Si se pudiera trisecar un ángulo de 60°, el grado de un polinomio mínimo de sobre sería una potencia de dos. Ahora, considérese . Se debe tener en cuenta que = = . Luego, por la fórmula del triple ángulo, , e igualmente, .
Entonces, , y se define como el polinomio .
Dado que es una raíz de , el polinomio mínimo para es un factor de . Debido a que tiene grado 3, si tiene solución en , entonces tiene una raíz racional. Según el teorema de la raíz racional, esta raíz debe ser o , pero ninguna de ellas es una raíz del polinomio. Por lo tanto, es irreducible sobre , y el polinomio mínimo para es de grado .
Por lo tanto, un ángulo de no se puede trisecar.
Ángulos trisecables Sin embargo, algunos ángulos se pueden trisecar. Por ejemplo, para cualquier ángulo constructible , un ángulo de medida se puede construir de forma trivial triplicando directamente un ángulo de medida . Hay ángulos que no son construibles pero que son trisecables (a pesar de que el ángulo de un tercio en sí mismo no es construible). Por ejemplo, es un ángulo de este tipo: cinco ángulos de medida se combinan para formar un ángulo de medida , que es un círculo completo más el deseado.
Para un número natural , un ángulo de medida es trisecable si y solo si no divide a .MacHale, Desmond. "Constructing integer angles", Mathematical Gazette 66, June 1982, 144–145. En contraste, es construible si y solo si es una potencia de o el producto de una potencia de con el producto de uno o más números de Fermat distintos.
Caracterización algebraica Nuevamente, denótese el conjunto de los números racionales por .
Teorema: un ángulo de medida se puede trisecar si y solo si
se puede reducir sobre la extensión del cuerpo .
La demostración es una generalización relativamente sencilla de la prueba dada anteriormente de que un ángulo de no es trisecable.
Otros métodos El problema general de la trisección de ángulos se puede resolver utilizando herramientas adicionales y, por lo tanto, saliendo del marco griego original de la regla y el compás.
Se han propuesto muchos métodos incorrectos para trisecar un ángulo en general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) involucran herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro "The trisectors" (Los Trisectores).
Método de construcción geométrica aproximada direita|thumb|400px|Trisección aproximada: Tomando OF=2OE, la construcción permite determinar fácilmente el arco HEG, que es aproximadamente una tercera parte del arco BEA
Esta construcción requiere trazar una circunferencia de radio arbitrario y con centro en el vértice O del ángulo a trisecar (∠AOB), y situar un punto F en la bisectriz del ángulo dado a una distancia del doble del radio de la circunferencia. Considerando ∠AOB = 2a y ∠HOG = 2x, entonces se tiene que el triángulo ΔOCF incluye el ángulo ∠OCF = ½ (a + x) ya que es un ángulo inscrito en la circunferencia que comprende un arco de medida a + x, y también se tiene que ∠CFO = ½ (a - x) porque al extender la bisectriz se obtiene un ángulo opuesto al ángulo ∠EOB = a, que por otro lado, es un ángulo externo al triángulo ΔOCF no adyacente a los ángulos ∠OCF = ½ (a + x ) y ∠CFO. En consecuencia:
Usando la ley de los senos y los cosenos en el triángulo ΔOCF y considerando los lados OF y OC que miden respectivamente 2.r y r, donde r es el radio de la circunferencia, entonces:
Con la segunda igualdad se llega a:
Dividiendo el numerador y el denominador del primer miembro de la expresión anterior, resulta: .
Esto demuestra que . De ello se deduce que x es aproximadamente .
Aproximación por bisecciones sucesivas 275px|thumb|Compás de Descartes 275px|thumb|Mecanismo de abanico de Sylvester
La trisección se puede aproximar mediante la repetición del método de la regla y el compás para bisecar un ángulo. Las series geométricas o se pueden utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación hasta cualquier grado de precisión en un número finito de pasos, pero la resolución exacta requeriría realizar un número infinito de pasos.
Usando un acoplamiento mecánico Un ángulo se puede trisecar con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro brazos de un compás, con conexiones articuladas intermedias diseñadas para mantener iguales los tres ángulos entre los brazos adyacentes.Isaac, Rufus, "Two mathematical papers without words", Mathematics Magazine 48, 1975, p. 198. Reprinted in Mathematics Magazine 78, April 2005, p. 111. Este dispositivo fue estudiado por René Descartes en 1629, según consta en su correspondencia con Isaac Beeckman.
Posteriormente, se idearían otros mecanismos simples capaces de trisecar ángulos, incluido el Trisector de Kempe y el mecanismo de abanico de Sylvester (también conocido como Isoklinostat).
Usando origami
left|mini|400px|Trisección de un ángulo mediante pliegues (origami) y comprobación del resultado
La trisección, como muchas construcciones imposibles con la regla y el compás, se puede lograr fácilmente mediante las operaciones de plegado de papel, u origami. Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) permiten construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes determinadas, mientras que con la regla y el compás solo pueden construirse extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).
La construcción en origami adjunta (ideada por de Hisashi Abe en 1980) ilustra el procedimiento: Se traza la línea d pasando por la esquina A de la hoja para que forme, con el borde inferior h0 de la hoja, el ángulo a cortar en tres. Se dobla la hoja para determinar dos bandas horizontales del mismo ancho (arbitrario) en la parte inferior de la hoja. Se denominan h1 y h2 a las líneas que las delimitan. Se dobla la hoja mediante un pliegue p para que AB delimite A'B', de manera que el punto A se sitúe sobre la línea h1 (generando el punto A'), al mismo tiempo que el punto B (intersección del borde izquierdo con la recta h2) se sitúe sobre la recta d, generando el punto B' (axioma 6 de las matemáticas del origami). La línea t que pasa por A y A' es entonces el trisector del ángulo dado: el ángulo formado por h0 y t es igual a 1/3 del ángulo formado entre h0 y d.
La demostración es simple: por simetría con respecto a la recta p, el punto medio P de AB da el punto medio P' de A'B' y, así como A'P es perpendicular a AB, se tiene que AP' es perpendicular a A'B'. Los dos triángulos rectángulos P'A'A y P'B'A son, por lo tanto, triángulos semejantes.