En matemáticas, los grupos clásicos se definen como los grupos lineales especiales sobre los números reales , los números complejos y los cuaterniones , junto con el grupo de automorfismos especialesAquí, especial significa el subgrupo del grupo completo de automorfismos cuyos elementos tienen el determinante 1. de forma simétrica o antisimétrica; y formas sesquilineales hermíticas o antihermíticas definidas en espacios vectoriales de dimensión finita de carácter real, complejo o cuaterniónico. p. 94. De estos, los grupos de Lie clásicos complejos son cuatro familias infinitas de grupos de Lie que junto con los grupos excepcionales agotan la clasificación de los grupos simples de Lie. Los grupos clásicos compactos son formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Los análogos finitos de los grupos clásicos son los grupos de tipo Lie clásicos. El término "grupo clásico" fue acuñado por Hermann Weyl, coincidente con el título de su monografía de 1939 The Classical Groups.
Los grupos clásicos forman la parte más profunda y útil del tema de los grupos de Lie lineales. p. 91. La mayoría de los tipos de grupos clásicos encuentran aplicación en la física clásica y moderna. Algunos ejemplos son el grupo ortogonal (que modeliza las simetrías del espacio euclídeo y todas las leyes fundamentales de la física), o el grupo de Lorentz (un grupo de simetría del espacio-tiempo base de la teoría de la relatividad especial). El grupo unitario especial es el grupo de simetría de la cromodinámica cuántica y el grupo simpléctico encuentra aplicación en los problemas de mecánica hamiltoniana y mecánica cuántica.
Los grupos clásicos Los grupos clásicos son exactamente los grupos lineales generales sobre y junto con los grupos de automorfismos de formas no degeneradas discutidos a continuación. p, 94 Estos grupos suelen estar restringidos adicionalmente a los subgrupos cuyos elementos tienen determinante 1, por lo que sus centros son discretos. Los grupos clásicos, con la condición de tener determinante 1, se enumeran en la siguiente tabla. A continuación, la condición del determinante 1 "no" se usa de manera consistente, en aras de una mayor generalidad. Nombre Grupo Cuerpo Forma Subgrupocompacto máximo Álgebrade Lie Sistema raízLineal especialSL(n, R)R-SO(n)Lineal especial complejoSL(n, C)C-SU(n)ComplejaLineal especial cuaterniónicoSL(n, H)= SU∗(2n)H-Sp(n)Ortogonal especial (indefinido) SO(p, q)RSimétricoS(O(p) × O(q))Ortogonal especial complejoSO(n, C)CSimétricoSO(n)ComplejaSimplécticoSp(n, R)RAntisimétricoU(n)Simpléctico complejoSp(n, C)CAntisimétricoSp(n)ComplejaUnitario especial (indefinido) SU(p, q)CHermíticoS(U(p) × U(q))Unitario cuaterniónico (indefinido)Sp(p, q)HHermíticoSp(p) × Sp(q)Ortogonal cuaterniónicoSO∗(2n)HAntihermíticoSO(2n) Cuidado. Quizás lo correcto sea un grupo unitario.
Los grupos clásicos complejos son , y . Un grupo es complejo si su álgebra de Lie es compleja. Los grupos clásicos reales se refieren a todos los grupos clásicos, ya que cualquier álgebra de Lie es un álgebra real. Los grupos clásicos compactos son las formas reales compactas de los grupos clásicos complejos. Estos son, a su vez, , y . Una caracterización de la forma real compacta es en términos del álgebra de Lie . Si , la complejifijación de , y si el grupo conexo generado por } es compacto, entonces es una forma real compacta. p. 103.
Los grupos clásicos se pueden caracterizar uniformemente de manera diferente utilizando formas reales. Los grupos clásicos (aquí con la condición del determinante 1, pero esta condición no es estrictamente necesaria) son los siguientes: Los grupos algebraicos lineales complejos y junto con sus formas reales. Véase el final del capítulo 1. Por ejemplo, es una forma real de , es una forma real de y es una forma real de . Sin la condición del determinante 1, se deben reemplazar los grupos lineales especiales por los grupos lineales generales correspondientes en la caracterización. Los grupos algebraicos en cuestión son grupos de Lie, pero se necesita la calificación de "algebraico" para disponer de la noción necesaria de "forma real".
Formas bilineales y sesquilineales
Los grupos clásicos se caracterizan en términos de formas definidas en , y , donde y son los cuerpos de los número reales y los números complejos. Los cuaterniones, , no constituyen un campo porque su multiplicación no es conmutativa, y forman un anillo de división o un sesquicuerpo o un cuerpo no conmutativo. Sin embargo, todavía es posible definir grupos cuaterniónicos de matrices. Por esta razón, se permite definir un espacio vectorial sobre y , así como sobre . En el caso de , es un espacio vectorial a la derecha para hacer posible la representación de la acción del grupo como una multiplicación de matrices desde la izquierda, al igual que para y .p. 93.
Una forma en algún espacio vectorial a la derecha de dimensión finita sobre , o es bilineal si y si
Se llama sesquilineal si y si
Se eligen estas convenciones porque funcionan en todos los casos considerados. Un automorfismo de es una aplicación sobre el conjunto de operadores lineales en tal que | El conjunto de todos los automorfismos de forman un grupo, se llama grupo de automorfismos de , denotado como . Esto lleva a una definición preliminar de un grupo clásico: Un grupo clásico es un grupo que conserva una forma bilineal o sesquilineal en espacios vectoriales de dimensión finita sobre , o . Esta definición tiene cierta redundancia. En el caso de , bilineal es equivalente a sesquilineal. En el caso de , no hay formas bilineales distintas de cero. p. 105
Formas simétricas, antisimétricas, hermiticas y antihermíticas Una forma es simétrica si
Es antisimétrica si
Es hermítica si
Finalmente, es antihermítica si
Una forma bilineal es únicamente la suma de una forma simétrica y una forma antisimétrica. Una transformación que conserva conserva ambas partes por separado. Los grupos que conservan formas simétricas y antisimétricas se pueden estudiar por separado. Lo mismo se aplica, mutatis mutandis, a las formas hermíticas y antihermíticas. Por esta razón, a los efectos de la clasificación, solo se consideran formas puramente simétricas, antisimétricas, hermíticas o antihermíticas. Las formas normales de las formas corresponden a elecciones específicas adecuadas de bases. Estas son bases que dan las siguientes formas normales en coordenadas:
El en la forma antihermítica es el tercer elemento base en la base para . Se puede comprobar la existencia de estas bases y la ley de inercia de Sylvester, la independencia del número de signos más y menos, y , en las formas simétrica y hermítica, así como la presencia o ausencia de los campos en cada expresión en o . El par , y a veces , se denomina signatura de la forma.
Explicación de la aparición de los campos : No hay formas bilineales no triviales sobre . En el caso bilineal simétrico, solo las formas sobre tienen signatura. En otras palabras, una forma bilineal compleja con "signatura" puede, mediante un cambio de base, reducirse a una forma en la que todos los signos son "" en la expresión anterior, mientras que esto es imposible en el caso real, en el que es independiente de la base cuando se pone en esta forma. Sin embargo, las formas hermíticas tienen una signatura independiente de la base tanto en el caso complejo como en el cuaterniónico (el caso real se reduce al caso simétrico). Una forma antihermítica en un espacio vectorial complejo se convierte en hermítica mediante la multiplicación por , por lo que en este caso, solo es interesante.
Grupos de automorfismos 220px|thumb|right|Hermann Weyl, el autor de The Classical Groups. Weyl hizo contribuciones sustanciales a la teoría de la representación de los grupos clásicos
La primera sección presenta el marco general. Las otras secciones agotan los casos cualitativamente diferentes que surgen como grupos de automorfismos de formas bilineales y sesquilineales en espacios vectoriales de dimensión finita sobre , y .
Grupo de automorfismos Aut(φ) Supóngase que es una forma bilineal no degenerada en un espacio vectorial de dimensión finita sobre o . El grupo de automorfismos se define, en función de la condición (), como
Cada tiene un adjunto con respecto a definido por |
Usando esta definición en la condición (), se ve que el grupo de automorfismos está dado por p. 91|
Fijando una base para , en términos de esta base, se expresa
donde son los componentes de . Esto es apropiado para las formas bilineales. Las formas sesquilineales tienen expresiones similares y se tratan por separado más adelante. En notación matricial se encuentra que
y p. 92| de () donde es la matriz . La condición de no degeneración significa precisamente que es invertible, por lo que el adjunto siempre existe. expresado así se convierte en
El álgebra de Lie de los grupos de automorfismos se puede escribir inmediatamente. En abstracto, si y solo si
para todo , correspondiente a la condición () bajo la aplicación exponencial de las álgebras de Lie, de modo que
o en una base
como se ve usando la expansión en serie de potencias de la aplicación exponencial y la linealidad de las operaciones involucradas. Por el contrario, supóngase que . Entonces, usando el resultado anterior, . Así, el álgebra de Lie se puede caracterizar sin referencia a una base, o al adjunto, como
La forma normal de se dará para cada grupo clásico a continuación. De esa forma normal, la matriz se puede leer directamente. En consecuencia, las expresiones para el adjunto y las álgebras de Lie se pueden obtener utilizando las fórmulas () y (). Esto se demuestra a continuación en la mayoría de los casos no triviales.
Caso bilineal Cuando la forma es simétrica, se llama . Cuando es antisimétrica, se llama . Esto se aplica a los casos real y complejo. El caso cuaterniónico está vacío, ya que no existen formas bilineales distintas de cero en espacios vectoriales cuaterniónicos.
Caso real El caso real se descompone en dos casos, las formas simétrica y antisimétrica que deben ser tratadas por separado.
Grupos ortogonales O(p, q) y O(n)
Si es simétrico y el espacio vectorial es real, se puede elegir una base tal que
El número de signos más y menos es independiente de la base particular. p. 107. En el caso de que se escribe donde es el número de signos más y es el número de signos menos, . Si la notación es . La matriz es en este caso
después de reordenar la base si es necesario. La operación adjunta () entonces se convierte en
que se reduce a la transposición habitual cuando o es 0. El álgebra de Lie se encuentra usando la ecuación () y un ansatz (enfoque) adecuado (esto se detalla para el caso de a continuación),
y el grupo según () viene dado por
Los grupos y son isomorfos a través de la aplicación
Por ejemplo, el álgebra de Lie del grupo de Lorentz podría escribirse como
Naturalmente, es posible reorganizar la matriz para que el bloque sea el superior izquierdo (o cualquier otro bloque). Aquí el "componente de tiempo" termina como la cuarta coordenada en una interpretación física, y no la primera como puede ser más común.
Grupo simpléctico verdadero Sp(m, R)
Si es asimétrico y el espacio vectorial es real, hay una base que da
donde . Para se escribe En el caso de que se escribe o . De la forma normal se lee
Haciendo el planteamiento adecuado
donde son matrices -dimensionales y considerando (),
se encuentra el álgebra de Lie de ,
y el grupo está dado por
Caso complejo Como en el caso real, hay dos casos, el simétrico y el antisimétrico, cada uno de los cuales produce una familia de grupos clásicos.
Grupo ortogonal complejo O(n, C)
Si el caso es simétrico y el espacio vectorial es complejo, una base
en la que solo se pueden utilizar signos más. El grupo de automorfismos se llama en el caso de . El álgebra de Lie es simplemente un caso especial de ,
y el grupo está dado por