El número π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro en geometría euclidiana. Es un número irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no euclidianas.
Lista de números – Números irracionalesζ(3) – √2 – √3 – √5 – φ – α – e – π – δBinario 11.00100100001111110110… Decimal 3.14159265358979323846… Hexadecimal 3.243F6A8885A308D31319… Fracción continua Nótese que la fracción continua no es periódica.
Nombre
La notación con la letra griega π proviene de la inicial de las palabras de origen griego περιφέρεια «periferia» y περίμετρον «perímetro» de un círculo,G L Cohen and A G Shannon, John Ward's method for the calculation of pi, Historia Mathematica 8 (2) (1981), 133-144. notación que fue utilizada primero por William Oughtred (1574-1660) y cuyo uso fue propuesto por el matemático galés William Jones (1675-1749);New Introduction to Mathematics, William Jones, 1706, London aunque fue el matemático Leonhard Euler, con su obra Introducción al cálculo infinitesimal, de 1748, quien la popularizó. Fue conocida anteriormente como constante de Ludolph (en honor al matemático Ludolph van Ceulen) o como constante de Arquímedes (que no se debe confundir con el número de Arquímedes). Jones plantea el nombre y símbolo de este número en 1706 y Euler empieza a difundirlo en 1736.Beskin. Fracciones maravillosas. Mir Moscú, (1987).
Arquímedes lo calculó con la aproximación de , tal como consignó en su obra Medición del círculo, ciertamente con otra notación.
Características matemáticas
right|300px|thumb|Se muestra la relación entre un cuadrado de lado y un círculo de radio . El área del círculo es .
Definiciones y caracterizaciones
Euclides fue el primero en demostrar que la relación entre una circunferencia y su diámetro es una cantidad constante.Euclides, Elementos. Libro V No obstante, existen diversas definiciones del número , pero la más común es:
es la razón entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro.
Además es: El área de un círculo unitario (de radio que tiene longitud 1, en el plano geométrico usual o plano euclídeo).
El menor número real positivo tal que .
También es posible definir analíticamente ; dos definiciones son posibles: La ecuación sobre los números complejos admite una infinidad de soluciones reales positivas, la más pequeña de las cuales es precisamente (véase identidad de Euler). La ecuación diferencial con las condiciones de contorno para la que existe solución única, garantizada por el teorema de Picard-Lindelöf, es un función analítica (la función trigonométrica ) cuya raíz positiva más pequeña es precisamente .
A través de una integral definida se obtiene el valor de /4. Se integra la función f(x) = 1/ ( 1 + x2) de 0 a 1.Apostol: Calculus
Todos los ensayos estadísticos realizados sobre la sucesión de los dígitos decimales de pi han corroborado su carácter aleatorio. No hay orden ni regularidad, hay varias series de 7777 y el chocante 999999, hay apariciones que confunden o agradan a los intuicionistas.Gardner: obra mencionada, en El trascendente número Pi.
Número irracional y trascendente
Se trata de un número irracional, lo que significa que no puede expresarse como fracción de dos números enteros, como demostró Johann Heinrich Lambert en 1761 (o 1767). También es un número trascendente, es decir, que no es la raíz de ningún polinomio de coeficientes enteros. En el el matemático alemán Ferdinand Lindemann demostró este hecho, cerrando con ello definitivamente la permanente y ardua investigación acerca del problema de la cuadratura del círculo indicando que no tiene solución.
También se sabe que π tampoco es un número de Liouville (Mahler,Mahler, K. "On the Approximation of." Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A. 56/Indagationes Math. 15, 30-42, 1953. 1953), es decir, no solo es trascendental sino que no puede ser aproximado por una secuencia de racionales «rápidamente convergente» (Stoneham 1970).
El número π es un período algebraico.
Primeras cincuenta cifras decimales A pesar de tratarse de un número irracional continúa siendo averiguada la máxima cantidad posible de decimales. Los cincuenta primeros son:
Para ver secuencias mayores de este número consúltese las referencias (5·1012 decimales),http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-5t/details.html, 133-144 así como Las primeras diez mil cifras decimales A00796 y OEIS.
En ciencia e ingeniería, esta constante puede emplearse, la mayoría de las veces, con una precisión de solo una docena de decimales. Con cuarenta decimales se podría describir con precisión la curvatura de la Vía Láctea con un error más pequeño que el tamaño de un protón.Bailey, David H., Borwein, Peter B. & Borwein, Jonathan M. (January 1997). «The Quest for Pi.» Mathematical Intelligencer (1): 50-57.
Historia del cálculo del valor π mini| es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Es una constante en geometría euclidiana. La búsqueda del mayor número de decimales del número ha supuesto un esfuerzo constante de numerosos científicos a lo largo de la historia. Algunas aproximaciones históricas de son las siguientes.
Antigua Roma Los primeros matemáticos romanos descubrieron una relación entre la longitud de pies de la circunferencia y el número 3,14.
Mesopotamia Hacia el , algunos matemáticos mesopotámicos empleaban, en el cálculo de segmentos, valores de igual a 3, alcanzando en algunos casos valores más aproximados, como el de:
Antiguo Egipto thumb|Detalle del papiro Rhind
El valor aproximado de en las antiguas culturas se remonta a la época del escriba egipcio Ahmes en el año 1800 a. C. descrito en el papiro Rhind,Gay Robins y Charles Shute: The Rhind Mathematical Papyrus: an ancient Egyptian text, British Museum Publications, London, 1987, véase “Squaring the Circle”, páginas 44 a 46. donde se emplea un valor aproximado de afirmando que el área de un círculo es similar a la de un cuadrado cuyo lado es igual al diámetro del círculo disminuido en 1/9; es decir, igual a 8/9 del diámetro. En notación moderna:
Entre los ocho documentos matemáticos hallados de la antigua cultura egipcia, en dos se habla de círculos. Uno es el papiro Rhind y el otro es el papiro de Moscú. Solo en el primero se habla del valor aproximado del número . El investigador Otto Neugebauer, en un anexo de su libro The Exact Sciences in Antiquity,"The Exact Sciences in Antiquity", Otto Neugebauer, 1957, Dover, New York, (nueva edición de 1969). describe un método inspirado en los problemas del papiro de Ahmes para averiguar el valor de π, mediante la aproximación del área de un cuadrado de lado 8, a la de un círculo de diámetro 9.
En la Biblia
Una de las referencias indirectas más antiguas del valor aproximado de π se puede encontrar en un versículo de la Biblia:
Una cita similar se puede encontrar en el Segundo libro de las crónicas. En él aparece en una lista de requerimientos para la construcción del Gran Templo de Salomón, construido sobre el 950 a. C.:
Ambas citas dan 3 como valor de π, lo que supone una notable pérdida de precisión respecto de las anteriores estimaciones egipcia y mesopotámica. Al respecto, apologéticos cristianos señalan que la falta de precisión se pueda atribuir al redondeo de las dimensiones relatadas por el texto.
Antigüedad clásica thumb|200px|Método de Arquímedes para encontrar dos valores que se aproximen al número π, por exceso y defecto thumb|200px|Método de aproximación de Liu Hui El matemático griego Arquímedes () fue capaz de determinar el valor de π entre el intervalo comprendido por 3 10/71, como valor mínimo, y 3 1/7, como valor máximo. Con esta aproximación de Arquímedes se obtiene un valor con un error que oscila entre 0.024 % y 0.040 % sobre el valor real. El método usado por Arquímedes Beckmann, Petr: A History of Pi, publicado por primera vez por The Golem Press, 1971, edición consultada por Barnes and Books, New York, 1993. era muy simple y consistía en circunscribir e inscribir polígonos regulares de n-lados en circunferencias y calcular el perímetro de dichos polígonos. Arquímedes empezó con hexágonos circunscritos e inscritos, y fue doblando el número de lados hasta llegar a polígonos de 96 lados.
Alrededor del año 20 d. C., el arquitecto e ingeniero romano Vitruvio calcula π como el valor fraccionario 25/8 midiendo la distancia recorrida en una revolución por una rueda de diámetro conocido.
En el , Claudio Ptolomeo proporciona un valor fraccionario por aproximaciones:
Matemática china
El cálculo de pi fue una atracción para los matemáticos expertos de todas las culturas. Hacia 120, el astrónomo chino Zhang Heng (78-139) fue uno de los primeros en usar la aproximación , que dedujo de la razón entre el volumen de un cubo y la respectiva esfera inscrita. Un siglo después, el astrónomo Wang Fang lo estimó en 142/45 (3.155555), aunque se desconoce el método empleado.Bailey, D. H., Borwein, J. M., Borwein, P. B. y Plouffle, S. « The quest for Pi.» The Mathematical Intelligencer 19 (1997), pp. 50-57. Pocos años después, hacia 263, el matemático Liu Hui fue el primero en sugerirA. Volkov, «Calculation of π in ancient China: from Liu Hui to Zu Chongzhi.» Historia Sci. (2) 4 (2) (1994), 139-157. que 3,14 era una buena aproximación, usando un polígono de 96 o 192 lados. Posteriormente estimó π como 3,14159 empleando un polígono de 3072 lados.
A finales del , el matemático y astrónomo chino Zu Chongzhi calculó el valor de en 3,1415926, al que llamó «valor por defecto», y 3,1415927, «valor por exceso», y dio dos aproximaciones racionales de , 22/7 y 355/113, muy conocidas ambas,C. Jami, Une histoire chinoise du 'nombre π', Archive for History of Exact Sciences 38 (1) (1988), 39-50 siendo la última aproximación tan buena y precisa que no fue igualada hasta más de nueve siglos después, en el .
Matemática india
En el Baudhayana-sulba-sutra se dan aproximaciones que se han interpretado de diversas formas como aproximadamente 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 o 3,125. Usando un polígono regular inscrito de 384 lados, a finales del el matemático indio Aryabhata estimó el valor en 3,1416. A mediados del , estimando incorrecta la aproximación de Aryabhata, Brahmagupta calcula como , cálculo mucho menos preciso que el de su predecesor. Hacia 1400 Madhava obtiene una aproximación exacta hasta 11 dígitos (3,14159265359), siendo el primero en emplear series para realizar la estimación.
Matemática islámica
En el Al-Jwarizmi, en su Álgebra (Hisab al yabr ua al muqabala), hace notar que el hombre práctico usa 22/7 como valor de , el geómetra usa 3, y el astrónomo 3,1416. En el , el matemático persa Ghiyath al-Kashi fue capaz de calcular el valor aproximado de con nueve dígitos, empleando una base numérica sexagesimal, lo que equivale a una aproximación de 16 dígitos decimales: 2 = 6.2831853071795865_
Renacimiento europeo
thumb|John Wallis (1616-1703) thumb|Leonhard Euler (1707-1783) A partir del , con el uso de cifras arábigas en los cálculos, se facilitó mucho la posibilidad de obtener mejores cálculos para π. El matemático Fibonacci (1170-1250), en su Practica Geometriae, amplifica el método de Arquímedes, proporcionando un intervalo más estrecho. Algunos matemáticos del , como Viète, usaron polígonos de hasta 393 216 lados para aproximarse con buena precisión a 3,141592653. En 1593 el flamenco Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) obtiene una precisión de 16 dígitos decimales usando el método de Arquímedes.