thumb|Expresión matemática de "Raíz cuadrada de x". En matemáticas, la raíz cuadrada de un número es aquel número que al ser multiplicado por sí mismo da como resultado el valor , es decir, cumple la ecuación .Álgebra moderna - Estructura y método. Dolciani y otros. Publicaciones Cultural. México, México, 1986. Se corresponde con la radicación de índice 2 o, equivalentemente, con la potenciación de exponente 1/2. Como toda raíz par de un real positivo tiene dos raíces opuestas entre sí, la denotada se establece según la notación específica consensuada.Así, cualquier número real no negativo tiene una raíz cuadrada positiva única o raíz cuadrada principalEn libros traducidos del inglés para la editorial Pearson impresos en México. Su uso era más general, para aplicarlo en raíces enésimas. denotada como donde es el símbolo raíz y es el radicando. La notación habitual para referir a la raíz negativa es y para la positiva, ; para ambas, o bien según el orden requerido.
El concepto puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número real negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos, los números reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas. En el anillo no conmutativo de las funciones reales de variable real con la adición y la composición de funciones si fºf = g, se puede plantear que f es la "raíz cuadrada" de g.Plausible generalización al caso de un anillo no conmutativo
Historia Las raíces cuadradas son expresiones matemáticas que surgieron al plantear diversos problemas geométricos como la longitud de la diagonal de un cuadrado. El Papiro de Ahmes datado hacia 1650 a. C., que copia textos más antiguos, muestra cómo los egipcios extraían raíces cuadradas.Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nueva York: Springer-Verlag, 1994.
En la antigua India, el conocimiento de aspectos teóricos y aplicados del cuadrado y la raíz cuadrada fue, al menos, tan antiguo como los Sulba Sutras, fechados entre el 500 y el 300 a. C. Un método para encontrar muy buenas aproximaciones a las raíces cuadradas de 2 y 3 es dado en el Baudhayana Sulba Sutra., cap. 8. Aryabhata (476-550) en su tratado Aryabhatiya (sección 2.4), dio un método para encontrar la raíz cuadrada de números con varios dígitos.
Los babilonios aproximaban raíces cuadradas haciendo cálculos mediante la media aritmética reiteradamente. En términos modernos, se trata de construir una sucesión dada por:Boyer: Historia de la matemática
Puede demostrarse que esta sucesión matemática converge de manera que (como valor inicial puede tomarse con buena aproximación el entero más cercano al valor de la raíz cuadrada). Las raíces cuadradas fueron uno de los primeros desarrollos de las matemáticas, siendo particularmente investigadas durante el periodo pitagórico, cuando el descubrimiento de que la raíz cuadrada de 2 era irracional (inconmensurable) o no expresable como cociente alguno, lo que supuso un hito en la matemática de la época.
Inicialmente se demostró la utilidad de la raíz cuadrada para la resolución de problemas trigonométricos y geométricos, como el cálculo de la longitud de la diagonal de un cuadrado o el teorema de Pitágoras. Posteriormente ganó utilidad para operar con polinomios y resolver ecuaciones de segundo grado o superior, y son en la actualidad una de las herramientas matemáticas más elementales.
David Eugene Smith, en History of Mathematics, dice acerca de la situación existente:
Pietro Antonio Cataldi calculó en 1613 la raíz cuadrada aproximando por fracciones continuas, como aparece en la obra común Historia de la matemática de Julio Rey Pastor y José Babini.
Posteriormente, se fue ampliando la definición de raíz cuadrada. Varios matemáticos vieron la necesidad de idear números que representasen la raíz cuadrada de números reales negativos para poder resolver todas las ecuaciones de segundo grado, pero no fue sino hasta 1777 cuando el matemático suizo Leonhard Euler simbolizó la raíz cuadrada de –1 con la letra i. La generalización de la función raíz cuadrada de los números negativos da lugar al concepto de los números imaginarios y al cuerpo de los números complejos, algo necesario para que cualquier polinomio tenga todas sus raíces (teorema fundamental del álgebra).Milton Donaire Peña. Formas y números. Editorial San Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9 La diagonalización de matrices también permite el cálculo rápido de la raíz de una matriz.
Símbolo de la raíz cuadrada
En occidente a principios del Juan Hispalense, integrante de la incipiente escuela de traductores de Toledo, tradujo al latín y español obras de astrónomos y matemáticos árabes: Albumasar, Al-Kindi, Al-Battani y Thábit ibn Qurra incorporando el signo " ? " como símbolo para la utilización de la raíz. También utilizará " ? " Leonardo de Pisa en su obra "Practica Geometriae".
El actual símbolo de la raíz cuadrada fue introducido en 1525 por el matemático Christoph Rudolff para representar esta operación,Boyer, Carl Benjamin (1992): Historia de la matemática (pág. 360), traducido por Mariano Martínez Pérez. Madrid: Alianza Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X e ISBN 84-206-8186-5.Ifrah, Georges (1997): Historia universal de las cifras (pág. 1452). Madrid: Espasa-Calpe, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 e ISBN 84-239-9730-8. que aparece en su libro Coss, el primer tratado de álgebra escrito en alemán vulgar. El signo no es más que una forma estilizada de la letra r minúscula para hacerla más elegante, alargándola con un trazo horizontal, hasta adoptar el aspecto actual, que representa la palabra latina radix, que significa raíz.
Función raíz cuadrada thumb|300px|La gráfica de la función es una semiparábola con directriz vertical.
La raíz cuadrada permite definir una función real cuyo dominio e imagen es el conjunto (el conjunto de todos los números reales no negativos). Para cada número real x esta función se define como el único número no negativo y que elevado al cuadrado es igual a x. Consiste en hallar el número del que se conoce su cuadrado. La función raíz cuadrada de x se expresa de la siguiente manera:
Usualmente la raíz cuadrada de un número entero no es un número racional a menos que el número entero sea un cuadrado perfecto, como por ejemplo:
ya que:
La función raíz cuadrada, en general, transforma números racionales en números algebraicos; es racional si y sólo si x es un número racional que puede escribirse como fracción de dos cuadrados perfectos. Si el denominador es , entonces se trata de un número natural. Sin embargo, es irracional.
El descubrimiento de que la raíz cuadrada de muchos números era un número irracional se atribuye a los pitagóricos. Los babilonios y egipcios ya disponían de medios de estimar numéricamente la raíz cuadrada, pero su interés parece haber sido eminentemente práctico, por lo que no parecen existir referencias sobre la naturaleza de la raíz cuadrada y el problema de si esta podía ser expresada como cociente de dos números enteros.
La interpretación geométrica es que la función raíz cuadrada transforma la superficie de un cuadrado en la longitud de su lado.
Propiedades generales thumb|150px|Gráfica de la ecuación: o también (como función multivaluada).
Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales no negativos x, y:
Raíz n-ésima del radicando:
Propiedad de productos de raíces:
Con notación exponencial:
y también la equivalencia:
La función es continua para todos los números no negativos y derivable para todos los números positivos (no es derivable para ya que la pendiente de la tangente ahí es infinita). Su derivada está dada por:
La serie de Taylor de en torno a x = 0 y convergente para |x| ≤ 1 se puede encontrar usando el teorema del binomio:
En cálculo, cuando se prueba que la función raíz cuadrada es continua o derivable, o cuando se calculan ciertos límites, es muy útil el multiplicar y dividir por el número conjugado:
y es válida para todos los números no negativos x e y que no sean ambos cero.
Irracionalidad de las raíces cuadradas
Una propiedad importante de la raíz cuadrada de los números enteros es que, si estos no son cuadrados perfectos, sus raíces son siempre números irracionales, que son números no expresables como el cociente de dos números enteros. Es decir, la raíz cuadrada de un número entero siempre será entero o irracional, nunca un número racional no entero.
Cualquier número entero puede ser expresado como el producto de una serie de factores primos elevados a diversos exponentes. De ser todos pares, las propiedades de la potenciación permiten reducir la raíz a un número natural. Solo si uno o más de los factores tiene un exponente impar la raíz no es natural.
Si fuera racional se debería poder expresar como con p, q enteros y primos entre sí. Elevando al cuadrado ambas partes se obtiene que , lo que es absurdo, pues a un lado queda al menos un factor primo con exponente impar mientras que, al otro lado de la igualdad, tanto como se expresan en función de producto de primos elevados a exponentes necesariamente pares.
Por una reducción al absurdo llegaron los pitagóricos a la demostración de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2, atribuida a Hipaso de Metaponto, un discípulo de Pitágoras. La idea, contraria a lo esperado en la matemática de entonces, supuso la denominada crisis de los inconmensurables de la filosofía pitagórica.
No obstante, es exactamente la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1, siendo fácil la construcción gráfica de la raíz. Por ello buena parte de la matemática helénica se centró en la geometría aplicada como forma de calcular gráficamente valores como ese. Teodoro de Cirene llegó a la espiral que lleva su nombre, que permite representar gráficamente cualquier raíz, y posteriormente Euclides llegó a un método más general.
Radicales jerarquizados cuadrados
En diferentes contextos se utilizan radicales de la forma
que en algunos casos puede ser escritos en la forma
lo que es factible si solo si x + y = A, xy = B .Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana Bruño G. M.: Elementos de Geometría Las expresiones anteriores se denominan radicales jerarquizados.
La identidad implica que , y por repeticiones sucesivas:
Por razones análogas se obtiene:
o que
En general, si r es una entidad estrictamente superior a uno, entonces:
Esta forma de expresar números mediante la repetición sucesiva de números contenidos dentro de raíces cuadradas puede tener diversas aplicaciones como la resolución de algunos tipos de ecuación o la expresión de algunos números famosos como el número áureo o el número pi.Elementos de Geometría de Bruño, pp. 148, 149 y 150
Fracciones continuas
Uno de los resultados más interesantes del estudio de números irracionales como fracciones continuas fue obtenido por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange cerca de 1780. Lagrange descubrió que la raíz cuadrada de cualquier número entero positivo no cuadrado se puede representar por una fracción continua periódica, es decir, donde ocurre cierto patrón de dígitos repetidamente en los denominadores. En un sentido estas raíces cuadradas son números irracionales mucho más simples, porque pueden ser representadas con un patrón de dígitos de repetición simple.
Aproximaciones enteras La aproximación de raíces cuadradas a números enteros es común en ciertos problemas matemáticos, como la criba de Eratóstenes que aproxima en sus cálculos la raíz cuadrada al mayor entero tal que su cuadrado sea menor que el valor de la raíz. Las aproximaciones pueden ser por defecto — usando la función piso — o por exceso — usando la función techo—. Las primeras, dadas por defecto son las siguientes: {|class="wikitable" style="text-align: center |- ! !1 !2 !3 !4 !5 !6 !7 !8 !9