En teoría de categorías, una rama de las matemáticas, una transformación natural proporciona una manera de convertir un funtor en otro, mientras que se respeta la estructura interna (es decir, la composición de morfismos) de las categorías implicadas. Por lo tanto, una transformación natural se puede considerar como un morfismo de funtores. De hecho, esta intuición puede formalizarse para definir las llamadas categorías de funtores. Las transformaciones naturales son, después de las categorías y de los funtores, una de las nociones más básicas del álgebra categórica y por lo tanto aparecen en la mayoría de sus usos.
Definición
Si F y G son funtores (covariantes) entre las categorías C y D, entonces una transformación natural η de F a G asocia a cada objeto X en C un morfismo ηX : F(X) → G(X) en D, tal que para cada morfismo f : X → Y en C se tiene que
ηY o F(f) = G(f) o ηX.
Esta ecuación se puede expresar convenientemente por el diagrama conmutativo
Si η es una transformación natural de F a G, se escribe también η: F → G.
Si, para cada objeto X en C, el morfismo ηX es un isomorfismo en D, entonces η se dice un isomorfismo natural (o a veces una equivalencia natural o isomorfismo de funtores). Dos funtores F y G se dicen naturalmente isomorfos o simplemente isomorfos si existe un isomorfismo natural de F a G.
Ejemplos
Grupo opuesto
Declaraciones como "Todo grupo es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto" abundan en matemáticas modernas. Ahora se va a dar el significado exacto de esta declaración así como su demostración. Considérese la categoría Grp de todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos. Si (G,*) es un grupo, se define su grupo opuesto (Gop, *op) como sigue: Gop es el mismo conjunto que G, y la operación *op es definida por a*opb = b*a. Todas las multiplicaciones en Gop "se dan así la vuelta". La formación del grupo opuesto se convierte en un funtor de Grp a Grp si se define fop = f para cada homomorfismo de grupo f: G → H. Obsérvese que fop es de hecho un homomorfismo de grupo de Gop en Hop:
fop(a*opb) = f(b*a) = f(b)*f(a) = fop(a)*opfop(b).
El contenido de la declaración antedicha es: el funtor identidad IdGrp: Grp → Grp es naturalmente isomorfo al funtor opuesto -op: Grp → Grp. Para probar esto, se necesita proporcionar isomorfismos ηG: G → Gop para cada grupo G, tal que el diagrama antedicho conmuta. Hágase ηG(a) = a-1. Las fórmulas (ab)-1 = b-1 a-1 y (a-1)-1 = a demuestran que ηG es un homomorfismo de grupo que es su propio inverso. Para probar la naturalidad, se comienza con un homomorfismo de grupo f: G → H ηH o f = fop o ηG, es decir (f(a))-1 = fop(a-1) para todo a en G. Esto es verdad puesto que fop = f y cada homomorfismo de grupo tiene la propiedad (f(a))-1 = f(a-1).
Módulos Sea un homomorfismo de módulo de módulos a la derecha. Para cada módulo a la izquierda existe una aplicación natural , que forma una transformación natural . Para cada módulo a la derecha existe una aplicación natural definida por , forma una transformación natural .
Abelianización Dado un grupo , se puede definir su subgrupo conmutador . Dejar denota la aplicación de proyección sobre las clases laterales de . Este homomorfismo es "natural en ", es decir, define una transformación natural, que ahora se comprueba. Sea un grupo. Para cualquier homomorfismo , se tiene que está contenido en el núcleo de , porque cualquier homomorfismo en un grupo abeliano elimina al subgrupo del conmutador. Entonces factoriza como para el homomorfismo único . Esto hace que sea un functor y es una transformación natural, pero no un isomorfismo natural, del functor identidad a .
Homomorfismo de Hurewicz Los functores y las transformaciones naturales abundan en topología algebraica, siendo los homomorfismos de Hurewicz un ejemplo. Para cualquier espacio topológico puntado y entero positivo existe un homomorfismo de grupos
desde el -ésimo grupo de homotopía de hasta el -ésimo grupo de homología de . Tanto como son funtores de la categoría Top* de espacios topológicos verticiales a la categoría Grp de grupos, y es una transformación natural de a .
Determinante
Dados los anillos conmutativos y con un homomorfismo de anillos , los respectivos grupos de matrices invertibles y heredan un homomorfismo que se denota por , obtenido aplicando a cada entrada de la matriz. De manera similar, se restringe a un homomorfismo de grupo , donde denota la unidad de . De hecho, y son functores de la categoría de anillos conmutativos a . El determinante en el grupo , denotado por , es un homomorfismo de grupo.
que es natural en debido a que el determinante está definido por la misma fórmula para cada anillo, se cumple. Esto hace que el determinante sea una transformación natural de a .
Doble dual de un espacio vectorial Por ejemplo, si es un cuerpo, entonces para cada espacio vectorial sobre se tiene una aplicación lineal inyectiva "natural" desde el espacio vectorial hasta su dual doble. Estas aplicaciones son "naturales" en el siguiente sentido: la operación dual doble es un funtor, y las aplicaciones son los componentes de una transformación natural del funtor identidad al functor dual doble.
Cálculo finito Para cada grupo abeliano , el conjunto de funciones desde los números enteros hasta el conjunto subyacente de forma un grupo abeliano bajo la suma puntual (aquí, es el funtor olvidable estándar). Dado un morfismo , la aplicación dada por la izquierda que compone con los elementos del primero es en sí mismo un homomorfismo de grupos abelianos; de esta manera se obtiene un funtor . El operador de diferencias finitas tomando cada función a es una aplicación de sobre sí mismo, y la colección de dichas aplicaciones da una transformación natural .
Adjunción homomórfica tensorial
Considérese la categoría de grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Para todos los grupos abelianos , y se tiene un isomorfismo de grupo
.
Estos isomorfismos son "naturales" en el sentido de que definen una transformación natural entre los dos funtores involucrados (aquí, "op" es la categoría opuesta de , que no debe confundirse con el funtor grupo opuesto trivial en ).
Esta es formalmente la adjunción homomórfica tensorial, un ejemplo arquetípico de un par de funtores adjuntos. Las transformaciones naturales surgen frecuentemente junto con los funtores adjuntos y, de hecho, los functores adjuntos se definen por un cierto isomorfismo natural. Además, cada par de funtores adjuntos viene equipado con dos transformaciones naturales (generalmente no isomorfismos) llamadas unidad y counidad.
Isomorfismo antinatural
La noción de transformación natural es categórica y establece (informalmente) que una aplicación particular entre funtores se puede realizar de manera consistente en una categoría completa. De manera informal, una aplicación particular (especialmente un isomorfismo) entre objetos individuales (no categorías completas) se denomina isomorfismo natural, lo que significa implícitamente que en realidad está definido en toda la categoría y define una transformación natural de funtores. Formalizar esta intuición fue un factor motivador en el desarrollo de la teoría de categorías.
Por el contrario, una aplicación particular entre objetos particulares puede denominarse isomorfismo antinatural (o "un isomorfismo que no es natural") si la aplicación no puede extenderse a una transformación natural en toda la categoría. Dado un objeto , un funtor (tomando por simplicidad el primer funtor como la identidad) y un isomorfismo la prueba de antinaturalidad se muestra más fácilmente dando un automorfismo que no conmuta con este isomorfismo (por lo tanto, ). Más concretamente, si se desea demostrar que y no son naturalmente isomorfos, sin hacer referencia a un isomorfismo particular, esto requiere demostrar que para "cualquier" isomorfismo , hay algún con el que no conmuta. En algunos casos, un único automorfismo funciona para todos los isomorfismos candidatos , mientras que en otros casos se debe mostrar cómo construir un diferente para cada isomorfismo. Las aplicaciones de la categoría juegan un papel crucial: cualquier transformación infranatural es natural si los únicas aplicaciones son la aplicación de identidad, por ejemplo.
Esto es similar (pero más categórico) a los conceptos de la teoría de grupos o la teoría de módulos, donde una descomposición dada de un objeto en una suma directa no es natural, o más bien no es única, ya que existen automorfismos que no preservan la suma directa. descomposición de la suma.
Algunos autores distinguen la notación, utilizando para un isomorfismo natural y para un isomorfismo no natural, reservando para la igualdad (normalmente igualdad de aplicaciones).
Ejemplo: grupo fundamental de los toros Como ejemplo de la distinción entre el enunciado funtorial y los objetos individuales, considérense los grupos de homotopía de un espacio producto, específicamente el grupo fundamental del toro.
Los grupos de homotopía de un espacio de productos son naturalmente el producto de los grupos de homotopía de los componentes, con el isomorfismo dado por la proyección sobre los dos factores, fundamentalmente porque las aplicaciones en un espacio de productos son exactamente productos de las aplicaciones en los componentes, lo que constituye una declaración funtorial.
Sin embargo, el toro (que es abstractamente un producto de dos círculos) tiene un grupo fundamental isomorfo a , pero la división de no es natural. Téngase en cuenta el uso de , y :
Este isomorfismo abstracto con un producto no es natural, ya que algunos isomorfismos de no preservan el producto: el autohomeomorfismo de (considerado como espacio cociente ) dado por (geométricamente un giro de Dehn sobre una de las curvas generadoras) actúa como esta matriz en (está en el grupo lineal general de matrices enteras invertibles), que no conserva la descomposición como producto porque no es diagonal. Sin embargo, si se da el toro como el producto (de manera equivalente, dada una descomposición del espacio), entonces la división del grupo se sigue de la afirmación general anterior. En términos categóricos, la categoría relevante (que preserva la estructura de un espacio de producto) es "aplicaciones de espacios de productos, es decir, un par de aplicaciones entre los respectivos componentes".
La naturalidad es una noción categórica y requiere ser muy preciso acerca de qué datos se dan exactamente: el toro como un espacio que resulta ser un producto (en la categoría de espacios y aplicaciones continuos) es diferente del toro presentado como un producto (en la categoría de productos de dos espacios y aplicaciones continuas entre los respectivos componentes).
Ejemplo: dual de un espacio vectorial de dimensión finita Todo espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual, pero puede haber muchos isomorfismos diferentes entre los dos espacios. En general, no existe un isomorfismo natural entre un espacio vectorial de dimensión finita y su espacio dual. Sin embargo, las categorías relacionadas (con estructura adicional y restricciones en las aplicaciones) tienen un isomorfismo natural, como se describe a continuación.