En análisis matemático, una función es de variación acotada (o también denominada de "fluctuación limitada") si su variación total ("fluctuación total") es finita, es decir, no oscila en un grado arbitrario. Estos términos están estrechamente relacionados con la continuidad y la integrabilidad de funciones.
El espacio de todas las funciones de variación acotada en el dominio se denota por .
El concepto se remonta a Camille Jordan.Golubov, Variation of a function, Encyclopedia of Mathematics, SpringerGolubov, Function of boundes variation, Encyclopedia of Mathematics, Springer
Funciones reales Definición La variación total de una función de variable real definida en un intervalo cerrado es el supremo
donde este supremo se forma a partir de todas las posibles particiones del intervalo . El aquí especificado depende de .
En concreto, las funciones continuas de variación acotada son integrables de Riemann-Stieltjes. Por eso puede equiparse con una seminorma:
.
Aquí, el supremo se forma a partir de todas las funciones continuamente diferenciables con soporte compacto y valores de la función en el intervalo .
La seminorma concuerda con el supremo, que define la variación acotada.
Ejemplo
Un ejemplo simple de una función con variación ilimitada es cerca de . Es claramente comprensible que el valor del cociente para crecerá cada vez más rápido hacia ∞ a medida que se acerca a 0 y, por lo tanto, el seno de este valor realizará un número infinito de oscilaciones. Este hecho se muestra en la imagen de la derecha.
La función
Tampoco tiene una fluctuación limitada en el intervalo [0, 1], a diferencia de la función:
.
Aquí, la variación del término seno, que aumenta bruscamente para , se ve suficientemente amortiguada por la potencia al cuadrado adicional.
Extensiones Esta definición también se puede utilizar para funciones complejas o funciones con valores en un espacio métrico (en este último caso, reemplácese por ).
Funciones BV en varias variables Las funciones de variación acotada, o funciones , son funciones cuyas derivadas distributivas son valores vectoriales con medidas de Radon finitas. De manera más precisa:
Definición Sea un subconjunto abierto de . Una función es de variación acotada o elemento de si su derivada distribucional es una medida de Radon finita, con signo y con valor vectorial. Es decir, existe , de modo que se cumple que
Conexión con curvas rectificables Una función continua también puede entenderse como un camino en un espacio métrico . Se cumple que tiene una variación acotada si y solo si es un camino rectificable, es decir, tiene una longitud finita.
Conexión con la teoría de la medida En teoría de la medida, las funciones con valores reales/complejos de variación acotada son exactamente las funciones de distribución de medidas de Borel con signo (o complejas) en .
Historia
Según Boris Golubov, las funciones de variación acotada en una variable fueron introducidas por Camille Jordan en el artículo que trataba sobre la convergencia de las series de Fourier. Las propiedades de las funciones de variación acotada se hicieron ampliamente conocidas porque Jordan las discutió en una nota adjunta al tercer volumen de su Course d'analyse (1887).
El primer paso exitoso en la generalización de este concepto a funciones multivariadas se debe a Leonida Tonelli, quien introdujo una clase de funciones de variación acotada continuas en 1926 para extender su método directo para encontrar soluciones a problemas de cálculo de variaciones. Diez años después, en , Lamberto Cesari cambió el requisito de continuidad en la definición de Tonelli por un requisito de integrabilidad, obteniendo por primera vez la clase de funciones de variación acotada multivariable. Varios autores aplicaron las funciones de variación acotada para estudiar series de Fourier en varias variables, teoría de la medida geométrica, cálculo de variaciones y física matemática. Renato Caccioppoli y Ennio De Giorgi las usaron para definir la medida de fronteras no suaves de conjuntos (véase la entrada " Conjunto de Caccioppoli " para más información). Olga Arsenievna Oleinik introdujo su visión de las soluciones generalizadas para ecuaciones diferenciales parciales no lineales como funciones de variación acotada para construir una solución generalizada de una ecuación diferencial parcial de primer orden. Referencias
Bibliografía
Enlaces externos Golubov, Función de variación acotada, Enciclopedia de Matemáticas, Springer
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