mini|300px|Dos vectores y y su vector suma +

En matemáticas, un vector es un objeto que generaliza varias nociones provenientes de la geometría (como pares de puntos o traslaciones), del álgebra (como la solución de un sistema de ecuaciones con varias incógnitas), o de la física (donde se usa para representar entre otras magnitudes velocidades, aceleraciones o fuerzas).

Rigurosamente axiomatizada, la noción de vector es la base de la rama de las matemáticas llamada álgebra lineal. En este sentido, un vector es un elemento de un espacio vectorial, es decir, que se pueden realizar las operaciones de adición y de multiplicación escalar (por un número), y que estas operaciones tienen las propiedades exigibles en un espacio vectorial. Por ejemplo un par o una tupla de números reales se puede ver como un vector (la suma y el producto por un número real se hacen componente a componente).

En geometría euclídea, dados dos puntos A y B, el vector representa una traslación que asocia el punto B con el punto A. Por lo tanto, pares de puntos diferentes pueden corresponder al mismo vector. La suma (véase la relación de Chasles) y la multiplicación se definen geométricamente.

Los vectores se representan frecuentemente como simples tuplas o, gráficamente, en el caso particular de espacios de 1, 2 o 3 dimensiones, mediante flechas: esta representación proviene de la combinación de las nociones de pares de puntos de la geometría euclídea (que permiten definir distancias, pero también direcciones y orientaciones), y las posibilidades de cálculo que ofrece el álgebra. Esto permite dar significado a vectores definidos en dos dimensiones (el plano) y en tres dimensiones (el espacio euclídeo habitual), pero más generalmente en espacios de cualquier dimensión.

En física, los vectores se utilizan ampliamente y permiten modelar magnitudes como fuerzas, velocidades, aceleraciones, cantidades de movimiento o ciertos campos (como el campo eléctrico, el campo magnético o el campo gravitatorio). Una magnitud vectorial se contrapone a una magnitud escalar: la magnitud escalar solo tiene un valor pero no tiene dirección ni sentido.

Estas nociones de campos, y los operadores que permiten calcularlos, llevaron a la definición, en álgebra multilineal, de la noción de campo vectorial, es decir, una función de ℝn en ℝn. Entonces, por ejemplo, resolver una ecuación diferencial significa determinar las curvas a las que los vectores de campo son tangentes.

Aún más en general, los vectores son casos especiales de tensores (se identifican con tensores de orden 1). Los tensores de orden 2 están representados por matrices, y las matrices de un aplicación lineal que transforman los vectores en funciones lineales constituyen una forma particular de vectores, también llamados bivectores.

Enfoque geométrico La geometría euclídea es la geometría del plano o del espacio, basada en los axiomas de Euclides. Las nociones de punto, recta y longitud se introducen mediante axiomas. El vector es entonces un objeto geométrico construido a partir de los conceptos anteriores.

Una visualización intuitiva de un vector corresponde a un desplazamiento de un punto, o para usar el término matemático preciso, una traslación. Así, un vector tiene una longitud (la distancia entre el punto inicial y el final), una dirección (si el desplazamiento no es cero, es la recta que contiene el punto inicial y el final) y un sentido (desde el origen hacia el final).

Definición mini|Los pares de puntos (A, B), (C, D), (E, F) son equipolentes. Constituyen tres representantes de un mismo vector. De hecho, los cuadrupletes de puntos ABFE y ABDC definen dos paralelogramos

Un vector está representado por un segmento orientado (una flecha), que tiene como extremos un punto inicial y un punto final. No importa la ubicación en el plano o en el espacio, dos desplazamientos de dos puntos de origen distintos pueden corresponder a un mismo vector, solo cuentan su longitud, su dirección y su sentido. Por lo tanto, es posible deslizarlo libremente en el plano, paralelo a sí mismo. Si A y B son dos puntos distintos, el vector tiene tres elementos característicos:

Su dirección (recta (AB)) Su sentido (hay dos sentidos posibles para recorrer el segmento (AB): de A hacia B o de B hacia A) Su norma (o su longitud, la longitud del segmento [AB])

Sin embargo, debe tenerse cuidado de no confundir dirección y sentido. En efecto, en el lenguaje común, cuando se circula por una carretera entre París y Versalles y se dice que se va en dirección a Versalles, el vehículo se irá acercando a esta última ciudad. Pero en el lenguaje matemático la dirección es una propiedad de la carretera (dirección París-Versalles) sin saber si se va de Versalles a París o de París a Versalles. Para saber hacia qué ciudad se está viajando también es necesario especificar el sentido del recorrido: París-Versalles, por ejemplo, para indicar que se va desde París hacia Versalles.

Una definición formal utiliza primero la noción de "bipunto". Se define como una pareja de puntos. El orden es importante: el primer punto se llama origen. Dos bipuntos (A, B) y (C, D) se denominan equipolentes cuando los segmentos [AD] y [BC] son paralelos y de igual magnitud y sentido. La relación de equipolencia constituye una relación de equivalencia entre bipuntos. Una clase de equivalencia contiene todos los bipuntos cuyo segundo miembro es la imagen del primer punto una vez aplicado el mismo desplazamiento.

La clase de equivalencia de un bipunto (A, B) se llama vector y se denota como . El bipunto (A, B) es un representante de una clase. Por el contrario, cualquier vector admite varios bipuntos representativos, ninguno de los cuales es privilegiado. Si se elige un origen determinado, hay un único bipunto que representa a un vector dado.

Si bien los vectores se pueden mover en el plano o en el espacio, los puntos no. Estos permanecen fijos. La ventaja de tener un representante de un vector es obtener, entre los bipuntos equipolentes, solo uno cuyo origen o punto final quede fijado de una vez por todas.

Así, dos bipuntos (A, B) y (C, D) son equipolentes si y solo si representan el mismo vector, y entonces se puede escribir la igualdad

Todos los bipuntos formados por la repetición de un mismo punto: (A, A), son equipolentos entre sí, y son los representantes de un vector denominado nulo. Se observa que

.

Este vector único tiene la propiedad particular de tener el mismo origen y fin. Entonces, será el único que se representará como un punto. Un vector representa un desplazamiento. Pero en un vector nulo, siendo el final y el origen iguales, no hay desplazamiento. Por lo tanto, esto significa que la ausencia de movimiento se considera una clase especial de movimiento.

Las teorías que presentan los vectores como una clase de equivalencia de bipuntos generalmente los denotan con una letra coronada por una flecha.Droites et plans dans l'espace Cours de Terminale par A. Turbergue.

Longitud y ángulo

La longitud de un bipunto (A, B) se define como la longitud del segmento subyacente. Dos bipuntos equipolentes tienen la misma longitud. Por lo tanto, todas las representaciones de un vector tienen la misma longitud, lo que se denomina norma (o módulo) del vector , y generalmente se denota como (a veces también se usa simplemente el o las letras que designan el vector sin la flecha, por ejemplo u o AB). Un vector unitario es un vector de norma 1. El vector cero es de norma cero, es decir, .

El ángulo que forman dos vectores y se denota como . Se define como el ángulo formado por dos representantes con el mismo origen. Entonces, si (A, B) es un representante de y (A, C) un representante de , entonces

En el plano orientado, es posible definir la noción de ángulo orientado de dos vectores. Este no es el caso en el espacio.

Operaciones

Las construcciones geométricas permiten la definición de adición y de multiplicación escalar. El nombre dado a las operaciones es consecuencia de la similitud de sus propiedades con las de las operaciones con números (conmutatividad, asociatividad y distributividad, presencia de elemento neutro y de elemento absorbente). Por esta razón, no solo los nombres de las operaciones sino también las notaciones son similares.

Si y son dos vectores, sea (A, B) un par de puntos que representan y C el punto tal que el par (B, C) representa el vector . Entonces, un representante del vector es el par (A, C). Si es el vector cero, entonces los puntos B y C son coincidentes, la suma es entonces igual a y el vector cero es efectivamente el elemento neutro para la suma de los vectores. Sea α un número, si es el vector cero, entonces también es el vector cero; de lo contrario, existe una recta única que contiene a A y a B, y un punto único C tal que la distancia entre A y C es igual a y el sentido de (A, B) si α es positivo, es el mismo que el sentido de , y lo contrario en caso contrario.

Una vez equipadas con una estructura de espacio vectorial, las demostraciones de la geometría euclídea suelen simplificarse. Un ejemplo lo da el teorema de Tales.

Formalización mini|David Hilbert propuso una definición axiomática rigurosa de la geometría euclídea

Los Elementos de Euclides no contienen vectores en sentido estricto, pero las nociones de punto o paralelogramo, del enfoque expuesto anteriormente, están muy presentes. Pero la axiomatización de los Elementos no es enteramente satisfactoria, aunque ha sido durante mucho tiempo un modelo en la materia: ciertos axiomas permanecen implícitos. David Hilbert demostró cómo axiomatizar geométricamente de forma rigurosa el plano o el espacio afín (véanse artículos sobre el plano afín de Desargues y sobre los axiomas de Hilbert). Entonces, usando el paralelismo es posible definir traslaciones y homotecias, y usando estas transformaciones, se pueden definir a su vez vectores y escalares.Emil Artin, Algèbre géométrique, Calmann-Lévy, chap. II. Este enfoque es muy general: permite tratar casos útiles, donde los escalares no son necesariamente números reales, sino por ejemplo números complejos o los elementos de un cuerpo finito. También se generaliza a cualquier dimensión, al menos finita.

Sin embargo, el desarrollo de las matemáticas ha ampliado considerablemente las áreas de uso de los vectores y se utiliza mucho un enfoque más algebraico. Se basa en dos conjuntos: uno que contiene escalares y el otro vectores. El segundo se llama espacio vectorial. Estos dos conjuntos cuentan con operaciones y se verifican axiomas para cada una de las operaciones. Una construcción diferente para formalizar el mismo concepto de vector es la que se trata en el artículo dedicado a los espacios vectoriales, que se esboza a continuación.

Enfoque algebraico Coordenadas y vectores columna

En un plano, dos vectores distintos de cero y en diferentes direcciones tienen una propiedad importante. Cualquier vector es la suma de un múltiplo de y un múltiplo de . Esto significa que hay un par único de números, , tal que

.