Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda equilibrado, una estructura de datos utilizada en informática y ciencias de la computación. La estructura original fue creada por Rudolf Bayer en 1972, que le dio el nombre de “árboles-B binarios simétricos”, pero tomó su nombre moderno en un trabajo de Leo J. Guibas y Robert Sedgewick realizado en 1978. Es complejo, pero tiene un buen peor caso de tiempo de ejecución para sus operaciones y es eficiente en la práctica. Puede buscar, insertar y borrar en un tiempo O(log n), donde n es el número de elementos del árbol.
Terminología Un árbol rojo-negro es un tipo especial de árbol binario usado en informática para organizar información compuesta por datos comparables (por ejemplo, números). En los árboles rojo-negro las hojas no son relevantes y no contienen datos.
En los árboles rojo-negro, como en todos los árboles binarios de búsqueda, es posible moverse ordenadamente a través de los elementos de forma eficiente si hay forma de localizar el padre de cualquier nodo. El tiempo de desplazarse desde la raíz hasta una hoja a través de un árbol equilibrado que tiene la mínima altura posible es de O(log n).
Al implementar esta estructura es posible utilizar un único nodo centinela. Este cumple la función de hoja para todas las ramas del árbol. Así, todos los nodos internos que finalicen en una hoja tienen referencia a este único nodo centinela. Esto no es necesario, ya que puede hacerse una referencia nula (NIL) en el final de cada rama.
Propiedades thumb|500px|Un ejemplo de árbol rojo-negro|right
Un árbol rojo-negro es un árbol binario de búsqueda en el que cada nodo tiene un atributo de color cuyo valor es rojo o negro. En adelante, se dice que un nodo es rojo o negro haciendo referencia a dicho atributo.
Además de los requisitos impuestos a los árboles binarios de búsqueda convencionales, se deben satisfacer las siguientes reglas para tener un árbol rojo-negro válido:
Todo nodo es o bien rojo o bien negro. Todas las hojas (NULL) son negras. Todo nodo rojo debe tener dos nodos hijos negros. Cada camino desde un nodo dado a sus hojas descendientes contiene el mismo número de nodos negros. (Conclusión) Si un nodo N tiene exactamente un hijo, dicho hijo debe ser rojo. Si el hijo fuera negro, sus hojas estarían a una profundidad negra diferente a la del nodo nulo de N (el cual se considera negro por la regla 2), violando así el requisito 4. Algunos autores (por ejemplo, Cormen y col.) exigen que "la raíz sea negra" como un quinto requisito; sin embargo, otros como Mehlhorn y Sanders o Sedgewick y Wayne no lo hacen. Dado que la raíz siempre se puede cambiar de rojo a negro, esta regla tiene poco impacto en el análisis. Este artículo también la omite, ya que altera ligeramente las pruebas y los algoritmos recursivos.
Estas reglas producen una regla crucial para los árboles rojo-negro: el camino más largo desde la raíz hasta una hoja no es más largo que dos veces el camino más corto desde la raíz a una hoja. El resultado es que dicho árbol está aproximadamente equilibrado.
Dado que las operaciones básicas como insertar, borrar y encontrar valores tienen un peor tiempo de ejecución proporcional a la altura del árbol, esta cota superior de la altura permite a los árboles rojo-negro ser eficientes en el peor caso, a diferencia de los árboles binarios de búsqueda.
Para comprobarlo basta ver que ningún camino puede tener dos nodos rojos seguidos debido a la propiedad 4. El camino más corto posible tiene todos sus nodos negros, y el más largo alterna entre nodos rojos y negros. Dado que todos los caminos máximos tienen el mismo número de nodos negros por la propiedad 5, no hay ningún camino que pueda tener longitud mayor que el doble de la longitud de otro camino.
En muchas presentaciones de estructuras arbóreas de datos, es posible para un nodo tener solo un hijo y las hojas contienen información. Es posible presentar los árboles rojo-negro en este paradigma, pero cambian algunas de las propiedades y se complican los algoritmos. Por esta razón, este artículo utiliza “hojas nulas”.
Una variante que se da al árbol rojo-negro es la de tratarlo como un árbol binario de búsqueda cuyas aristas, en lugar de nodos, son coloreadas de color rojo o negro, pero esto no produce ninguna diferencia. El color de cada nodo en la terminología de este artículo corresponde al color de la arista que une el nodo a su padre, excepto la raíz, que es siempre negra (por la propiedad 2) donde la correspondiente arista no existe.
Al número de nodos negros de un camino se le denomina "altura negra".
Usos y ventajas
Los árboles rojo-negro ofrecen un peor caso con tiempo garantizado para la inserción, el borrado y la búsqueda. No es esto únicamente lo que los hace valiosos en aplicaciones sensibles al tiempo como las aplicaciones en tiempo real, sino que además son apreciados para la construcción de bloques en otras estructuras de datos que garantizan un peor caso. Por ejemplo, muchas estructuras de datos usadas en geometría computacional pueden basarse en árboles rojo-negro.
El árbol AVL es otro tipo de estructura con O(log n) tiempo de búsqueda, inserción y borrado. Está equilibrado de forma más rígida que los árboles rojo-negro, lo que provoca que la inserción y el borrado sean más lentos pero la búsqueda y la devolución del resultado de la misma más veloz.
Los árboles rojo-negro son particularmente valiosos en programación funcional, donde son una de las estructuras de datos persistentes más comúnmente utilizadas en la construcción de arrays asociativos y conjuntos que pueden retener versiones previas tras mutaciones. La versión persistente del árbol rojo-negro requiere un espacio O(log n) para cada inserción o borrado, además del tiempo.
Los árboles rojo-negro son isométricos a los árboles 2-3-4. En otras palabras, para cada árbol 2-3-4, existe un árbol correspondiente rojo-negro con los datos en el mismo orden. La inserción y el borrado en árboles 2-3-4 son también equivalentes a los cambios de colores y las rotaciones en los árboles rojo-negro. Esto los hace ser una herramienta útil para la comprensión del funcionamiento de los árboles rojo-negro y por esto muchos textos introductorios sobre algoritmos presentan los árboles 2-3-4 justo antes que los árboles rojo-negro, aunque frecuentemente no sean utilizados en la práctica.
Operaciones
Las operaciones de sólo lectura en un árbol rojo-negro no requieren modificación alguna con respecto a las utilizadas en los árboles binarios de búsqueda, ya que cada árbol rojo-negro es un caso especial de árbol binario de búsqueda.
Sin embargo, el resultado inmediato de una inserción o la eliminación de un nodo utilizando los algoritmos de un árbol binario de búsqueda normal podría violar las propiedades de un árbol rojo-negro. Restaurar las propiedades rojo-negro requiere un pequeño número (O(log n))de cambios de color (que son muy rápidos en la práctica) y no más de 3 rotaciones (2 por inserción). A pesar de que las operaciones de inserción y borrado son complicadas, sus tiempos de ejecución siguen siendo O(log n).
Rotación
Para conservar las propiedades que debe cumplir todo árbol rojo-negro, en ciertos casos de la inserción y la eliminación será necesario reestructurar el árbol, si bien no debe perderse la ordenación relativa de los nodos. Para ello, se llevan a cabo una o varias rotaciones, que no son más que reestructuraciones en las relaciones padre-hijo-tío-nieto.
Las rotaciones que se consideran a continuación son simples; sin embargo, también se dan las rotaciones dobles.
En las imágenes pueden verse de forma simplificada cómo se llevan a cabo las rotaciones simples hacia la izquierda y hacia la derecha en cualquier árbol binario de búsqueda, en particular en cualquier árbol rojo-negro. Podemos ver también la implementación en Python de dichas operaciones.
450px|right|Diagrama de la rotación simple hacia la izquierda def rotar_izda(p): aux = raiz if p.padre is not None and p.padre.dcho == p: aux = p.padre.dcho elif p.padre is not None and p.padre.izdo == p: aux = p.padre.izdo
aux = p.dcho aux.padre = p.padre p.padre = aux p.dcho = aux.izdo aux.izdo = p
if p.dcho is not None: p.dcho.padre = p
450px|right|Diagrama de la rotación simple hacia la derecha def rotar_dcha(p): aux = None if p.padre is not None and p.padre.dcho == p: aux = p.padre.dcho elif p.padre is not None and p.padre.izdo == p: aux = p.padre.izdo
aux = p.izdo aux.padre = p.padre p.padre = aux p.izdo = aux.dcho aux.dcho = p
if p.izdo is not None: p.izdo.padre = p
Búsqueda La búsqueda consiste acceder a la raíz del árbol y comparar su valor con el valor buscado. Si el elemento a localizar coincide con el de la raíz, la búsqueda ha concluido con éxito. Si el elemento es menor, se busca en el subárbol izquierdo; si es mayor, en el derecho. Si se alcanza un nodo hoja y el elemento no ha sido encontrado se supone que no existe en el árbol. Cabe destacar que la búsqueda en este tipo de árboles es muy eficiente y representa una función logarítmica. La búsqueda de un elemento en un ABB (Árbol Binario de Búsqueda) en general, y en un árbol rojo-negro en particular, se puede realizar de dos formas: iterativa y recursiva.
Ejemplo de versión iterativa en el lenguaje de programación Python, suponiendo que estamos buscando una clave alojada en un nodo donde está el correspondiente dato que precisamos encontrar:
def buscar_abb_iterativo(a, buscado): e = None p = a while p is not None and p.valor != buscado: # avanzar el puntero if buscado < p.valor: p = p.izquierda if p.valor < buscado: p = p.derecha if p is not None: e = copiaDato(p.dato) return e
Véase ahora la versión recursiva en ese mismo lenguaje:
def buscar_abb_recursivo(a, buscado): if a is None: return None
if a.valor == buscado: return copiaDato(a.valor)
if a.valor < buscado: return buscar_abb_recursivo(a.derecha, buscado)
if a.valor > buscado: return buscar_abb_recursivo(a.izquierda, buscado)
Inserción
La inserción comienza añadiendo el nodo como lo haríamos en un árbol binario de búsqueda convencional y pintándolo de rojo. Lo que sucede después depende del color de otros nodos cercanos. El término tío nodo será usado para referenciar al hermano del padre de un nodo, como en los árboles familiares humanos. Conviene notar que: La propiedad 3 (Todas las hojas nulas, son negras) siempre se cumple. La propiedad 4 (Ambos hijos de cada nodo rojo son negros) está amenazada solo por añadir un nodo rojo, por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación. La propiedad 5 (Todos los caminos desde un nodo dado hasta sus nodos hojas contiene el mismo número de nodos negros) está amenazada solo por repintar un nodo negro de color rojo o por una rotación.
Al contrario de lo que sucede en otros árboles como puede ser el Árbol AVL, en cada inserción se realiza un máximo de una rotación, ya sea simple o doble. Por otra parte, se asegura un tiempo de recoloración máximo de por cada inserción.
Nota: En los esquemas que acompañan a los algoritmos, la etiqueta N será utilizada por el nodo que está siendo insertado, P para los padres del nodo N, G para los abuelos del nodo N, y U para los tíos del nodo N. Notamos que los roles y etiquetas de los nodos están intercambiados entre algunos casos, pero en cada caso, toda etiqueta continúa representando el mismo nodo que representaba al comienzo del caso. Cualquier color mostrado en el diagrama está o bien supuesto en el caso o implicado por dichas suposiciones.
Los nodos tío y abuelo pueden ser encontrados por las siguientes funciones:
struct node * abuelo(struct node *n) { if ((n != NULL) && (n->padre != NULL)) return n->padre->padre; else return NULL; }
struct node * tio(struct node *n) { struct node *a = abuelo(n); if (n->padre == a->izdo) return a->dcho; else return a->izdo; }