En matemáticas, el sistema numérico -ádico para cualquier número primo extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos real y complejo. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto. En particular, se considera que dos números -ádicos están cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia elevada de : cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números -ádicos codifiquen la información de congruencia de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en teoría de números, incluida, por ejemplo, la famosa demostración del último teorema de Fermat por Andrew Wiles.
Estos números fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como el uso implícito de números -ádicos.Introducción del traductor página 35: «De hecho, en retrospectiva, se hace evidente que una valoración discreta está detrás del concepto de números ideales de Kummer». Los números -ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial. Por ejemplo, el cuerpo del análisis -ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo infinitesimal.
Más formalmente, para un primo dado, el cuerpo de los números -ádicos es una compleción métrica de los números racionales en la norma o valor absoluto p-ádico . El cuerpo también recibe una topología derivada de una métrica, que a su vez se deriva del orden -ádico, una valoración alternativa en los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que cada sucesión de Cauchy converge hasta un punto en . Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en , y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que le da a los sistemas numéricos -ádicos su gran utilidad.
La letra en -ádico es una variable y puede ser reemplazada por un número primo (lo que produce, por ejemplo, los números 2-ádicos) u otra expresión que represente a un número primo. El término «ádico» de «-ádico» proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádico o triádico.
Expansión p-ádica de los números racionales La representación decimal de un número racional positivo es su representación como series
donde es un número entero y cada es también un número entero tal que Esta expansión puede ser calculada mediante la división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: si es un número racional tal que hay un entero tal que y con La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto que en la iteración asume el papel del número racional original .
La expansión -ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo fijo, cada número racional distinto de cero se puede escribir únicamente como , donde es un número entero (posiblemente negativo), y son números coprimos, ambos coprimos con , y es positivo. El entero es la valoración -ádica de , denotada como y es su valor absoluto -ádico, denotado como (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir
donde es un número entero tal que y es cero o un número racional tal que (es decir, ).
La expansión -ádica de es la serie formal de potencias
obtenido repitiendo indefinidamente el paso de división explicado anteriormente en residuos sucesivos. En una expansión -ádica, todos los son enteros tales que
Si con , el proceso finalmente se detiene con un resto cero; en este caso, la serie se completa con términos finales con coeficiente cero, y es la representación de en base-.
La existencia y el cálculo de la expansión -ádica de un número racional resulta de la identidad de Bézout de la siguiente manera. Si, como anteriormente, y y son coprimos, existen los enteros y tales que Entonces
y además, la división euclídea de por da
con
Esto da el paso de división como
para que en la iteración
genere el nuevo número racional.
Comprobar la unicidad del paso de división y de toda la expansión -ádica es fácil: si se tiene que Esto significa que divide a Dado que y debe ser cierto que y Así, uno obtiene y como divide a eso debe ser
La expansión -ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de serie convergente con el valor absoluto -ádico.
En la notación estándar -ádica, los dígitos se escriben en el mismo orden que en el sistema estándar en base , es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite se sitúa en el lado izquierdo.
La expansión -ádica de un número racional es finalmente periádica. Recíprocamente, una serie con converge (para el valor absoluto -ádico) a un número racional si y solo si finalmente es periódico. En este caso, la serie es la expansión -ádica de ese número racional. La demostración es similar al resultado similar a un número decimal periódico.
Ejemplo Se va a calcular la expansión 5-ádica según la identidad de Bézout para El número p es y el denominador es . Por lo tanto, (para ejemplos más grandes, esto se puede calcular con el algoritmo de Euclides extendido). De este modo
Para el siguiente paso, se tiene que dividir (el factor 5 en el numerador de la fracción tiene que ser visto como un cambio de la valoración -ádica, y por lo tanto, no está involucrado en la división). Multiplicando la identidad de Bézout por se obtiene
La «parte entera» no está en el intervalo derecho. Entonces, se tiene que usar la división euclídea por para obtener dando
y
Del mismo modo, se tiene que
y
Como ya se ha encontrado el resto , el proceso puede continuar fácilmente, dando coeficientes para potencias impares de cinco y para potencias pares. O en la notación estándar 5-ádica
con los puntos suspensivos en el lado izquierdo.
Serie p-ádica En este artículo, dado un número primo , una serie -ádica es una serie formal de potencias de la forma
donde todo distinto de cero es un número racional tal que ninguno de los y es divisible por . Si se interpretretan los números en la serie anterior como números reales, la serie podría no converger y por eso se habla de una serie formal. Aunque si los números se interpetan como números p-ádicos entonces la serie es convergente bajo el valor absoluto p-ádico . Se tienen los siguientes hechos: Todo número racional puede verse como una serie -ádica con un solo término, que consiste en su factorización de la forma con y , ambos coprimos con . Una serie -ádica está normalizada si cada es un número entero en un intervalo Por lo tanto, la expansión -ádica de un número racional es una serie -ádica normalizada. El valor -ádico, u orden -ádico de una serie -ádica distinta de cero es el entero más bajo tal que El orden de la serie cero es infinito Dos series -ádicas son equivalentes si tienen el mismo orden , y si para cada entero la diferencia entre sus sumas parciales
tiene un orden mayor que (es decir, es un número racional de la forma con y y ambos coprimos con ).
Para cada serie -ádica , hay una única serie normalizada tal que y son equivalentes. es la normalización de La prueba es similar a la prueba de existencia de la expansión -ádica de un número racional. En particular, cada número racional puede considerarse como una serie -ádica con un solo término distinto de cero, y la normalización de esta serie es exactamente la representación racional del número racional.
En otras palabras, la equivalencia de la serie -ádica es una relación de equivalencia, y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie -ádica normalizada.
Las operaciones usuales de series (suma, resta, multiplicación, división) asignan series -ádicas a series -ádicas, y son compatibles con la equivalencia de series -ádicas. Es decir, denotando la equivalencia con , si , y son series -ádicas distintas de cero tales que se tiene que
Además, y tienen el mismo orden y el mismo primer término.
Notación posicional Es posible usar una notación posicional similar a la que se usa para representar números en base .
Sea una serie -ádica normalizada, es decir, cada es un número entero en el intervalo Se puede suponer que al establecer para (si ), y sumando los términos cero resultantes a la serie.
Si , la notación posicional consiste en escribir consecutivamente, ordenados por valores decrecientes de , a menudo con apareciendo a la derecha como un índice:
Entonces, el cálculo del ejemplo anterior muestra que
y
Cuando se añade un punto de separación antes de los dígitos con índice negativo y, si el índice está presente, aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo,
y
Si una representación -ádica es finita por la izquierda (es decir, para valores grandes de ), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma con enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en base . Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales.
Definición Hay varias definiciones equivalentes de números -ádicos. La que se da aquí es relativamente elemental, ya que no implica ningún otro concepto matemático que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes usan la compleción de un anillo de valoración discreta (véase enteros p-ádicos), espacio métrico completo (véase propiedades topológicas), o límites inversos (véase propiedades modulares).
Un número -ádico se puede definir como una «serie -ádica normalizada». Dado que hay otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, se dice a menudo que una serie -ádica normalizada «representa» un número -ádico, en lugar de decir que «es» un número -ádico.
También se puede decir que cualquier serie -ádica representa un número -ádico, ya que cada serie -ádica es equivalente a una única serie -ádica normalizada. Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de números -ádicos: el resultado de tal operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en serie. Esto define bien las operaciones sobre números -ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de series -ádicas.
Con estas operaciones, los números -ádicos forman un cuerpo llamado campo de números -ádicos y denotado como o . Hay un homomorfismo de cuerpo único de los números racionales sobre los números -ádicos, que representa cada número por su expansión -ádica. La imagen de este homomorfismo se identifica comúnmente con el cuerpo de los números racionales. Esto permite considerar los números -ádicos como una extensión de los números racionales, y los números racionales como un subcampo de los números -ádicos.
La valoración de un número -ádico distinto de cero, comúnmente denominada , es el exponente de en el primer término distinto de cero de cada serie -ádica que representa a . Por convención, es decir, la valoración de cero es Esta valoración es una valoración discreta. La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración -ádica de , es decir, el exponente en la factorización de un número racional como tanto con como con números coprimos con respecto a .
Enteros p-ádicos Los enteros -ádicos son los números -ádicos con una valoración no negativa.
Un entero -ádico se puede representar como una secuencia
de residuos mod para cada entero , satisfaciendo las relaciones de compatibilidad para .