El argumento de indispensabilidad de Quine-Putnam es un argumento de la filosofía de las matemáticas a favor de la existencia de objetos matemáticos abstractos como los números y los conjuntos, una postura conocida como platonismo matemático. Debe su nombre a los filósofos Willard Van Orman Quine y Hilary Putnam, y es uno de los argumentos más importantes de la filosofía de las matemáticas.
Aunque elementos del argumento de la indispensabilidad pueden tener su origen en pensadores como Gottlob Frege y Kurt Gödel, el desarrollo del argumento por parte de Quine fue único por introducir en él varias de sus posiciones filosóficas, como el naturalismo, el holismo confirmacional y el criterio del compromiso ontológico. Putnam dio al argumento de Quine su primera formulación detallada en su libro de 1971 Philosophy of Logic. Sin embargo, más tarde llegó a discrepar de varios aspectos del pensamiento de Quine y formuló su propio argumento de la indispensabilidad basándose en el argumento de los no milagros de la filosofía de la ciencia. Una forma estándar del argumento en la filosofía contemporánea se atribuye a Mark Colyvan; aunque está influido tanto por Quine como por Putnam, difiere en aspectos importantes de sus formulaciones. Se presenta en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford:
Deberíamos tener un compromiso ontológico con todas y sólo con las entidades indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Por lo tanto, debemos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.
Los nominalistas, filósofos que rechazan la existencia de objetos abstractos, han argumentado en contra de ambas premisas de este argumento. Un influyente argumento de Hartry Field afirma que las entidades matemáticas son prescindibles para la ciencia. Este argumento se ha apoyado en intentos de demostrar que las teorías científicas y matemáticas pueden reformularse para eliminar todas las referencias a entidades matemáticas. Otros filósofos, como Penelope Maddy, Elliott Sober y Joseph Melia, han argumentado que no necesitamos creer en todas las entidades que son indispensables para la ciencia. Los argumentos de estos autores inspiraron una nueva versión explicativa del argumento, que Alan Baker y Mark Colyvan apoyan, según la cual las matemáticas son indispensables para explicaciones científicas específicas, así como para teorías completas.
Antecedentes En su artículo de 1973 «Mathematical Truth», Paul Benacerraf planteó un problema para la filosofía de las matemáticas. Según Benacerraf, oraciones matemáticas como «dos es un número primo» implican la existencia de objetos matemáticos. Apoyó esta afirmación con la idea de que las matemáticas no deberían tener su propia semántica especial o, en otras palabras, el significado de las oraciones matemáticas debería seguir las mismas reglas que las oraciones no matemáticas. Por ejemplo, según este razonamiento, si la frase «Marte es un planeta» implica la existencia del planeta Marte, entonces la frase «dos es un número primo» también debería implicar la existencia del número dos. Pero según Benacerraf, si los objetos matemáticos existieran, serían incognoscibles. Esto se debe a que los objetos matemáticos, si existen, son objetos abstractos: objetos que no pueden causar cosas y que no tienen ubicación en el espacio y el tiempo. Benacerraf argumentó, basándose en la teoría causal del conocimiento, que sería imposible saber sobre tales objetos porque no pueden entrar en contacto causal con nosotros Esto se llama el problema epistemológico de Benacerraf porque concierne a la epistemología de las matemáticas, es decir, cómo llegamos a saber lo que sabemos sobre las matemáticas.
La filosofía de las matemáticas se divide en dos corrientes principales: el platonismo y el nominalismo. El platonismo sostiene que existen objetos matemáticos abstractos, como los números y los conjuntos, mientras que el nominalismo niega su existencia. Cada uno de estos puntos de vista se enfrenta a problemas debidos al problema planteado por Benacerraf. Dado que el nominalismo rechaza la existencia de objetos matemáticos, no se enfrenta a ningún problema epistemológico, pero sí a problemas relacionados con la idea de que las matemáticas no deberían tener su propia semántica especial. El platonismo no se enfrenta a problemas relativos a la mitad semántica del dilema, pero tiene dificultades para explicar cómo podemos tener algún conocimiento sobre los objetos matemáticos.
El argumento de la indispensabilidad pretende superar el problema epistemológico planteado contra el platonismo proporcionando una justificación de la creencia en objetos matemáticos abstractos. Forma parte de una amplia clase de argumentos de indispensabilidad que se aplican más comúnmente en la filosofía de las matemáticas, pero que también incluye argumentos en la filosofía del lenguaje y la ética. En el sentido más general, los argumentos de indispensabilidad pretenden apoyar su conclusión basándose en la afirmación de que la verdad de la conclusión es indispensable o necesaria para un determinado propósito. Cuando se aplican en el campo de la ontología -el estudio de lo que existe- ejemplifican una estrategia quineana para establecer la existencia de entidades controvertidas que no pueden investigarse directamente. Según esta estrategia, la indispensabilidad de estas entidades para formular una teoría de otras entidades menos controvertidas cuenta como prueba de su existencia. En el caso de la filosofía de las matemáticas, la indispensabilidad de las entidades matemáticas para formular teorías científicas se toma como prueba de la existencia de esas entidades matemáticas.
Resumen del argumento Mark Colyvan presenta el argumento en la Stanford Encyclopedia of Philosophy de la siguiente forma:
Deberíamos tener un compromiso ontológico con todas y sólo con las entidades indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Las entidades matemáticas son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Por lo tanto, debemos tener un compromiso ontológico con las entidades matemáticas.
Aquí, un compromiso ontológico con una entidad es un compromiso con la creencia de que esa entidad existe. La primera premisa se basa en dos supuestos fundamentales: el naturalismo y el holismo confirmacional. Según el naturalismo, debemos recurrir a nuestras mejores teorías científicas para determinar qué es lo que tenemos más razones para creer que existe. Quine resumió el naturalismo como «el reconocimiento de que es dentro de la ciencia misma, y no en alguna filosofía previa, donde la realidad debe ser identificada y descrita». El holismo confirmacional es la opinión de que las teorías científicas no pueden ser confirmadas aisladamente y deben ser confirmadas como conjuntos. Por lo tanto, de acuerdo con el holismo confirmacional, si debemos creer en la ciencia, entonces debemos creer en toda la ciencia, incluyendo cualquiera de las matemáticas que son asumidas por nuestras mejores teorías científicas. El argumento se dirige principalmente a los nominalistas que son realistas científicos, ya que intenta justificar la creencia en entidades matemáticas de una manera similar a la justificación de la creencia en entidades teóricas como electrones o quarks; Quine sostuvo que tales nominalistas tienen un «doble estándar» con respecto a la ontología.
El argumento de la indispensabilidad difiere de otros argumentos a favor del platonismo porque sólo defiende la creencia en las partes de las matemáticas que son indispensables para la ciencia. No justifica necesariamente la creencia en las partes más abstractas de la teoría de conjuntos, que Quine denominó «recreación matemática … sin derechos ontológicos». Algunos filósofos deducen del argumento que el conocimiento matemático es a posteriori porque implica que las verdades matemáticas sólo pueden establecerse mediante la confirmación empírica de las teorías científicas para las que son indispensables. Esto también indica que las verdades matemáticas son contingentes, ya que las verdades empíricamente conocidas son generalmente contingentes. Tal posición es controvertida porque contradice la visión tradicional del conocimiento matemático como conocimiento a priori de verdades necesarias.
Mientras que el argumento original de Quine es un argumento a favor del platonismo, los argumentos de indispensabilidad también pueden construirse para argumentar a favor de la afirmación más débil del realismo oracional: la afirmación de que la teoría matemática es objetivamente verdadera. Se trata de una afirmación más débil porque no implica necesariamente que existan objetos matemáticos abstractos.
Conceptos principales
Indispensabilidad La segunda premisa del argumento de la indispensabilidad afirma que los objetos matemáticos son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. En este contexto, indispensabilidad no es lo mismo que ineliminabilidad, ya que cualquier entidad puede eliminarse de un sistema teórico si se realizan los ajustes adecuados en las demás partes del sistema. En cambio, indispensabilidad significa que una entidad no puede eliminarse sin reducir el atractivo de la teoría. El atractivo de la teoría puede evaluarse en términos de virtudes teóricas como el poder explicativo, la adecuación empírica y la simplicidad. Además, si una entidad es prescindible para una teoría, puede formularse una teoría equivalente sin ella. Éste es el caso, por ejemplo, si cada frase de una teoría es una paráfrasis de una frase de otra o si las dos teorías predicen las mismas observaciones empíricas.
Según la Stanford Encyclopedia of Philosophy, uno de los argumentos más influyentes contra el argumento de la indispensabilidad procede de Hartry Field. Rechaza la afirmación de que los objetos matemáticos son indispensables para la ciencia; Field ha apoyado este argumento reformulando o «nominalizando» las teorías científicas para que no se refieran a objetos matemáticos. Como parte de este proyecto, Field ha ofrecido una reformulación de la física newtoniana en términos de las relaciones entre puntos espacio-temporales. En lugar de referirse a distancias numéricas, la reformulación de Field utiliza relaciones como «entre» y «congruente» para recuperar la teoría sin implicar la existencia de números. John Burgess y Mark Balaguer han dado pasos para extender este proyecto de nominalización a áreas de la física moderna, incluida la mecánica cuántica. Filósofos como David Malament y Otávio Bueno discuten si tales reformulaciones tienen éxito o incluso son posibles, particularmente en el caso de la mecánica cuántica.
La alternativa de Field al platonismo es el ficcionalismo matemático, según el cual las teorías matemáticas son falsas porque se refieren a objetos abstractos que no existen. Como parte de su argumentación contra el argumento de la indispensabilidad, Field ha intentado explicar cómo es posible que la ciencia utilice enunciados matemáticos falsos sin que las predicciones científicas sean falsas. Su argumentación se basa en la idea de que las matemáticas son conservadoras. Una teoría matemática es conservadora si, cuando se combina con una teoría científica, no implica nada sobre el mundo físico que la teoría científica por sí sola no hubiera implicado. Esto explica cómo es posible que las matemáticas sean utilizadas por las teorías científicas sin que las predicciones de la ciencia sean falsas. Además, Field ha intentado especificar cómo exactamente las matemáticas son útiles en la aplicación. Field piensa que las matemáticas son útiles para la ciencia porque el lenguaje matemático proporciona una taquigrafía útil para hablar de sistemas físicos complejos.