En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss, distribución gaussiana a una gráfica de función de densidad con forma acampanada y simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana. Su forma general es:
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar ciertos fenómenos que se corresponden con variables aleatorias. Los mecanismos que subyacen a este tipo de fenómenos dependen de variables cuya dispersión y medidas, por la cantidad de factores incontrolables que en ellos intervienen, derivan en una distribución de valores con un conjunto central más frecuente, y unos extremos menos habituales.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, aún cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal, siempre que la muestra sea suficientemente grande.Es una consecuencia del Teorema Central del Límite Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.
Sin embargo, históricamente las distribuciones normales se han generalizado de forma incorrecta en contextos donde no se cumple el supuesto de normalidad (es decir, que los datos subyacentes no corresponden a variables que siguen patrones aleatorios), como el Cociente intelectual, los Efectos del calentamiento global, o la Riqueza con los que la distribución normal es un modelo de predicción deficiente.
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas.
Historia miniatura|izquierda|Abraham de Moivre, primero en descubrir la distribución normal La distribución normal fue presentada por primera vez por Abraham de Moivre en un artículo del año 1733,Abraham de Moivre, "Approximatio ad Summam Terminorum Binomii (a + b)n in Seriem expansi" (impreso el 12 de noviembre de 1733 en Londres para una edición privada). Este panfleto se reimprimió en: (1) Richard C. Archibald (1926) “A rare pamphlet of Moivre and some of his discoveries,” Isis, vol. 8, páginas 671-683; (2) Helen M. Walker, “De Moivre on the law of normal probability” en David Eugene Smith, A Source Book in Mathematics [Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill, 1929; reimpresión: Nueva York, Nueva York: Dover, 1959], vol. 2, páginas 566-575.; (3) Abraham De Moivre, The Doctrine of Chances (2ª ed.) [Londres: H. Woodfall, 1738; reimpresión: Londres: Cass, 1967], páginas 235-243; (3ª ed.) [Londres: A Millar, 1756; reimpresión: Nueva York, Nueva York: Chelsea, 1967], páginas 243-254; (4) Florence N. David, Games, Gods and Gambling: A History of Probability and Statistical Ideas [Londres: Griffin, 1962], Apéndice 5, páginas 254-267. que fue reimpreso en la segunda edición de su The Doctrine of Chances, de 1738, en el contexto de cierta aproximación de la distribución binomial para grandes valores de n. Su resultado fue ampliado por Laplace en su libro Teoría analítica de las probabilidades (1812), y en la actualidad se llama Teorema de De Moivre-Laplace.
Laplace usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. El importante método de mínimos cuadrados fue introducido por Legendre en 1805. Gauss, que afirmaba haber usado el método desde 1794, lo justificó rigurosamente en 1809 asumiendo una distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicosHavil, 2003 y algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. Esta atribución del nombre de la distribución a una persona distinta de su primer descubridor es un claro ejemplo de la ley de Stigler.
El nombre de "campana" viene de Esprit Jouffret que usó el término "bell surface" (superficie campana) por primera vez en 1872 para una distribución normal bivariante de componentes independientes. El nombre de "distribución normal" fue otorgado independientemente por Charles S. Peirce, Francis Galton y Wilhelm Lexis hacia 1875. A pesar de esta terminología, otras distribuciones de probabilidad podrían ser más apropiadas en determinados contextos; véase la discusión sobre incidencia, más abajo.
Definición formal La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:
donde:
es la media (también puede ser la mediana, la moda o el valor esperado, según aplique) es la desviación típica [estándar es un anglicismo] es la varianza representa la función de densidad de probabilidad
También podemos definir la distribución normal a través de su función de densidad:
La función de distribución normal estándar es un caso especial de la función donde y :
Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:
y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:
El complemento de la función de distribución de la normal estándar, , se denota con frecuencia , y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.La función Qhttps://web.archive.org/web/20090325160012/http://www.eng.tau.ac.il/~jo/academic/Q.pdf Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de .
La inversa de la función de distribución de la normal estándar (función cuantil) puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:
y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:
Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal (véase función cuantil).
Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.
Límite inferior y superior estrictos para la función de distribución Para grandes valores de x la función de distribución de la normal estándar es muy próxima a 1 y está muy cerca de 0. Los límites elementales
en términos de la densidad son útiles.
Usando el cambio de variable v = u²/2, el límite superior se obtiene como sigue:
De forma similar, usando y la regla del cociente,
Resolviendo para proporciona el límite inferior.
Funciones generatrices Función generatriz de momentos La función generatriz de momentos se define como la esperanza de e(tX). Para una distribución normal, la función generatriz de momentos es:
como puede comprobarse al completar el cuadrado en el exponente.
Función característica La función característica se define como la esperanza de eitX, donde i es la unidad imaginaria. De este modo, la función característica se obtiene reemplazando t por it en la función generatriz de momentos. Para una distribución normal, la función característica es
Propiedades Algunas propiedades de la distribución normal son las siguientes:
Es simétrica respecto de su media, .miniatura|Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ2). La moda y la mediana son ambas iguales a la media, . Los puntos de inflexión de la curva se dan para y . Distribución de probabilidad en un entorno de la media: en el intervalo se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26 % de la distribución; en el intervalo se encuentra, aproximadamente, el 95,44 % de la distribución; por su parte, en el intervalo se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74 % de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar. Si y , entonces . Si e son variables aleatorias normales independientes, entonces: Su suma está normalmente distribuida con . Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer). Su diferencia está normalmente distribuida con . Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí. La divergencia de Kullback-Leibler, Si e son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces: Su producto sigue una distribución con densidad dada por donde es una función de Bessel modificada de segundo tipo. Su cociente sigue una distribución de Cauchy con . De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial de distribución cociente. Si son variables normales estándar independientes, entonces sigue una distribución χ² con n grados de libertad. Si son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral y la varianza muestral son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).
Estandarización de variables aleatorias normales Como consecuencia de la Propiedad 1; es posible relacionar todas las variables aleatorias normales con la distribución normal estándar.
Si , entonces
es una variable aleatoria normal estándar: ~ .
La transformación de una distribución X ~ N(μ, σ) en una N(0, 1) se llama normalización, estandarización o tipificación de la variable X.
Una consecuencia importante de esto es que la función de distribución de una distribución normal es, por consiguiente,
A la inversa, si es una distribución normal estándar, ~ , entonces
es una variable aleatoria normal tipificada de media y varianza .
La distribución normal estándar está tabulada (habitualmente en la forma del valor de la función de distribución Φ) y las otras distribuciones normales pueden obtenerse como transformaciones simples, como se describe más arriba, de la distribución estándar. De este modo se pueden usar los valores tabulados de la función de distribución normal estándar para encontrar valores de la función de distribución de cualquier otra distribución normal.
Momentos Los primeros momentos de la distribución normal son: Número Momento Momento central Cumulante 0 1 1 1 0 2 3 0 0 4 0 5 0 0 6 0 7 0 0 8 0
Todos los cumulantes de la distribución normal, más allá del segundo, son cero.
Fórmulas generales Para una variable centrada, los momentos de orden superior vienen dados por
Si y designamos por el momento de orden , tenemos donde es el máximo número entero no superior (o función suelo) a .
Con la misma notación también tenemos la recurrencia Cuando , podemos escribir la expresión compacta donde designa la derivada -ésima de la función respecto la variable , con el convenio . Esta fórmula se demuestra probando, mediante la Regla de Leibniz, que la función cumple la recurrencia (*), y y .
El Teorema del Límite Central
miniatura|Gráfica de la función de distribución de una normal con μ = 12 y σ = 3, aproximando la función de distribución de una binomial con n = 48 y p = 1/4.