En matemáticas, y en particular dentro de la teoría de homotopía, en el campo de la topología algebraica, la propiedad de elevación de homotopía (también conocida como una instancia de la propiedad de elevación por la derecha o axioma de homotopía de recubrimiento) es un requerimiento técnico sobre una función continua de un espacio topológico E a otro B. Su propósito es reforzar la idea de E "por encima" de B, permitiendo que una homotopía que ocurre en B se desplace al espacio que está por encima, es decir E.

Por ejemplo, un mapa de recubrimiento tiene una propiedad de elevación local única de caminos hacia una hoja dada; la unicidad se debe a la discrecionalidad de las fibras de un mapa de recubrimiento (las fibras de un espacio de recubrimiento son espacios discretos). La propiedad de elevación de homotopía se mantendrá en muchas situaciones, como la proyección en un haz vectorial, un haz de fibras o una fibración, donde no es necesario que exista una forma única de elevación.

Definición formal Asumimos que todos os mapas son funciones continuas entre espacios topológicos.

Dado el mapa , y un espacio , decimos que tiene la propiedad de levantamiento de homotopía respecto a Y si:

para una homotopía cualquiera , y para cualquier mapa que levanta (es decir, tal que ),

entonces también se verifica que existe una homotopía que levanta (es decir, tal que ) y también se cumple .

El siguiente diagrama describe esta situación:

centro|175x175px

La parte exterior del diagrama (sin la flecha punteada) conmuta si y sólo si las hipótesis contempladas para la propiedad de elevación son verdaderas. Un levantamiento corresponde a una flecha punteada que hace conmutar el diagrama. Este diagrama es dual al de la propiedad de extensión de homotopía ; esta dualidad es referida ocasionalmente como la dualidad de Eckmann-Hilton.

Cuando el mapa satisfaga la propiedad de elevación de homotopía con respecto a todos los espacios , diremos que es una fibración, o a veces simplemente se expresa diciendo que tiene la propiedad de elevación de homotopía .

Si la propiedad (de levantamiento de homotopía) se requiere únicamente para todos los CW-complejos entonces se denomina una fibración de Serre (nocíón más débil de fibración)

Generalización: propiedad de extensión de elevación de homotopía Existe una generalización común de la propiedad de elevación de homotopía y de la propiedad de extensión de homotopía.

Dado un par de espacios , por simplicidad denotaremos . Adicionalmente sea dado un mapa , entonces diremos que tiene la propiedad de extensión de elevación de homotopía si:

Para cualquier homotopía , y Para cualquier levantamiento de , existe una homotopía que cubre (es decir, tal que ) y que extiende (es decir, tal que ).

La propiedad de elevación de homotopía de se obtendrá tomando , de forma que en el espacio de encima sea simplemente .

La propiedad de extensión de homotopía de se consigue considerando como un mapa constante, de tal forma que resulta irrelevante en el sentido de que cada función de E es trivialmente la elevación de una función constante al punto imagen de .

Véase también

Espacio recubridor Fibración

Referencias

. Jean-Pierre Marquis (2006) "A path to Epistemology of Mathematics: Homotopy theory", pages 239 to 260 in The Architecture of Modern Mathematics, J. Ferreiros & J.J. Gray, editors, Oxford University Press

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