En matemáticas, los números de Fibonacci forman una sucesión recursiva definida por:

Es decir, después de dados dos valores iniciales, cada número es la suma de los dos números anteriores.

La sucesión de Fibonacci se ha estudiado ampliamente y se ha generalizado de muchas maneras, por ejemplo, comenzando con números distintos de 0 y 1, sumando más de dos números para generar el siguiente, o sumando objetos distintos de números.

Extensión a los enteros negativos Usando , se puede extender la sucesión de Fibonacci a los números enteros negativos. Así, se obtiene: ... -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... y .

Extensión a todos los números reales o complejos Existen varias generalizaciones posibles de los números de Fibonacci que incluyen los números reales (y a veces los números complejos) en su dominio. Cada una de ellas involucra el número áureo , y se basa en la sucesión de Fibonacci.

.

La función analítica:

tiene la propiedad de que para números enteros pares. De manera similar, la función analítica:

satisface para números enteros impares.

Finalmente, al combinarlas, la función analítica:

satisface para todos los enteros .

Dado que para todos los números complejos , esta función también proporciona una extensión de la sucesión de Fibonacci a todo el plano complejo. Por lo tanto, se puede calcular la función de Fibonacci generalizada de una variable compleja, por ejemplo,

Sin embargo, esta extensión no es única. Por ejemplo, tanto

como

para cualquier entero impar son extensiones de la sucesión de Fibonacci a todo el plano complejo, al igual que cualquier combinación lineal de ellas cuyos coeficientes suman 1.

Espacio vectorial El término sucesión de Fibonacci también se aplica de forma más general a cualquier función de origen entero sobre el cuerpo para el que . Estas funciones son precisamente las de la forma , por lo que las sucesiones de Fibonacci forman un espacio vectorial con las funciones y como una base del mencionado espacio.

De forma más general, el rango de puede considerarse como cualquier grupo abeliano (considerado como un módulo-Z). De la misma manera, las sucesiones de Fibonacci forman un módulo Z bidimensional.

Sucesiones de enteros similares

Sucesiones de enteros de Fibonacci El módulo bidimensional de las sucesiones enteras de Fibonacci consta de todas las sucesiones de enteros que satisfacen . Expresado en términos de dos valores iniciales, se tiene que:

donde es la proporción áurea.

La razón entre dos elementos consecutivos converge y es igual a la proporción áurea, excepto en el caso de la sucesión que es constantemente cero y en las sucesiones donde la razón de los dos primeros términos es .

La sucesión se puede escribir en la forma:

en la que si y solo si . En esta forma, el ejemplo no trivial más simple tiene , que es la sucesión de los números de Lucas:

.

Cuando y , las propiedades incluyen:

Cada sucesión de enteros de Fibonacci no trivial aparece (posiblemente tras un desplazamiento de un número finito de posiciones) como una de las filas de la matriz de Wythoff. La sucesión de Fibonacci propiamente dicha es la primera fila, y un desplazamiento de la sucesión de Lucas es la segunda fila..

Véase también sucesiones de enteros de Fibonacci módulo n.

Sucesiones de Lucas Una generalización diferente de la sucesión de Fibonacci son las sucesiones de Lucas del tipo definido de la siguiente manera:

donde la sucesión de Fibonacci normal es un caso especial de y . Otro tipo de sucesión de Lucas comienza con , . Dichas sucesiones tienen aplicaciones en la demostración de teoría de números y de primalidad.

Cuando , esta sucesión se denomina sucesión -Fibonacci; por ejemplo, la sucesión de Pell también se denomina sucesión 2-Fibonacci.

La sucesión 3-Fibonacci es: 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ...

La sucesión 4-Fibonacci es: 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ...

La sucesión 5-Fibonacci es: 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ...

La sucesión 6-Fibonacci es: 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ...

La constante de -Fibonacci es la razón hacia la que tienden los números de -Fibonacci adyacentes; también se la denomina -ésimo número metálico, y es la única raíz positiva de . Por ejemplo, en el caso de que es , es el número áureo; y en el caso de que es , es el número plateado. Generalmente, en el caso de que es .

Generalmente, se denomina sucesión de Fibonacci y se denomina sucesión de Lucas .

La sucesión de Fibonacci (1,2) es: 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ...

La sucesión de Fibonacci (1,3) es: 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ...

La sucesión de Fibonacci (2,2) es: 0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ...

La sucesión de Fibonacci (3,3) es: 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ...

Números de Fibonacci de orden superior

Una sucesión de Fibonacci de orden es una sucesión de enteros en la que cada elemento es la suma de los elementos anteriores (con la excepción de los primeros términos de la sucesión). Los números de Fibonacci usuales constituyen una sucesión de Fibonacci de orden 2. Los casos y han sido estudiados exhaustivamente. El número de composiciones de enteros no negativos divididos en partes de como máximo constituye una sucesión de Fibonacci de orden . La sucesión del número de cadenas de 0s y 1s de longitud que contienen como máximo ceros consecutivos es también una sucesión de Fibonacci de orden .

Estas sucesiones, sus razones límite y el límite de estas razones límite fueron investigadas por Mark Barr en 1913.

Números de tribonacci Una variación de la sucesión de Fibonacci es la sucesión de números de tribonacci, donde cada número es la suma de los tres números anteriores. Partiendo de los valores iniciales y , la recurrencia

da esta sucesión de números como

Se pueden encontrar más términos bajo el número de sucesión , en la Enciclopedia en Línea de sucesiones de enteros (OEIS).

La sucesión de tribonacci tiene una larga e interesante historia. La aparición histórica más notable de la sucesión está relacionada con Charles Darwin (1809-1882) y su obra fundamental El origen de las especies, donde la procreación y el crecimiento de la población de los elefantes se consideran un ejemplo ilustrativo. En 1892, la sucesión de números apareció en la solución de un problema recreativo, relativo a un granjero y la cría de ovejas, planteado por el matemático estadounidense Artemas Martin (1835-1918). El primer tratamiento matemático de la sucesión de tribonacci y la investigación de sus propiedades se realizó en 1914 y se debe a Agronomof. El término tribonacci apareció mucho más tarde, en 1963, y se debe a Mark Feinberg, por entonces un estudiante de secundaria de catorce años, quien lo introdujo en un artículo en la revista Fibonacci Quarterly.

Identidad de Agronomof. La nota de Agronomof de 1914 es una pequeña joya que pasó desapercibida, no tuvo repercusión en su momento y permaneció olvidada durante más de medio siglo. Aunque es una nota muy breve (la réplica moderna cabe fácilmente en una sola página), contiene la poderosa identidad:

Nótese que la identidad de Agronomof es simétrica en y , y que, para , se recupera la recurrencia de tribonacci original. Agronomof realizó su deducción bajo el supuesto de que ambos parámetros y son enteros no negativos. Sin embargo, se puede demostrar que la identidad es más general y que, de hecho, se cumple para enteros arbitrarios y extendiendo la recurrencia definitoria (1) para incluir números de tribonacci con índices negativos. Agronomof concluye su nota mostrando las siguientes propiedades notables de los números de tribonacci:

Estas se derivan fácilmente de su identidad tomando y . A su vez, estas dos identidades pueden utilizarse para obtener una expresión simple para la suma de los cuadrados de los números de Tribonacci.

Fórmula de reflexión. Al igual que con los números de Fibonacci, se puede aplicar la recurrencia a los números de tribonacci en sentido inverso.

A partir de y , se puede determinar .

A partir de y , se puede determinar , y así sucesivamente.

Por lo tanto, los valores de los números de tribonacci en índices negativos están bien definidos. Partiendo de , y , e invirtiendo la recurrencia de tribonacci (1), se obtiene la sucesión de números de tribonacci con índice negativo:

Se pueden encontrar términos adicionales bajo el número de sucesión en la Enciclopedia en Línea de Sucesiones de Enteros (OEIS). La extensión a índices negativos implica que la sucesión de tribonacci puede considerarse como una sucesión doblemente infinita:

donde el valor en el índice cero se muestra en negrita. Recorriendo la sucesión de izquierda a derecha, se utiliza la recurrencia (1). Recorriendo la sucesión de derecha a izquierda, se utiliza la recurrencia .

La relación entre los segmentos con índice negativo y positivo de la sucesión de tribonacci viene dada por:

Esta identidad se cumple para todos los enteros y se conoce como fórmula de reflexión para los números de tribonacci. Se puede obtener utilizando la identidad de Agronomof.

La constante de tribonacci:

es la razón hacia la que tienden los números de tribonacci adyacentes. Es la única raíz real del polinomio , aproximadamente , y también satisface la ecuación . Es importante en el estudio del cubo romo.

El recíproco de la constante de tribonacci es la raíz real de , y se puede escribir como:

aproximadamente .

Los números de tribonacci también se dan porSimon Plouffe, 1993

donde denota redondeo y

En correspondencia con los números de Lucas de la sucesión de Fibonacci, si se parte de , y y se aplica la recursión de tribonacci, entonces para

Números de tetranacci Los números de tetranacci comienzan con cuatro términos predeterminados, siendo cada término subsiguiente la suma de los cuatro términos anteriores. Los primeros números de tetranacci son:

0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, ...

Feinberg también acuñó el término tetranacci.

La constante de tetranacci es la razón hacia la que tienden los números de tetranacci adyacentes. Es la única raíz real positiva del polinomio , aproximadamente , y también satisface la ecuación .

La constante de tetranacci se puede expresar en términos de raíces mediante la siguiente expresión:

donde,

y es la raíz real de la ecuación de tercer grado .

Correspondiente a los números de Lucas de la sucesión de Fibonacci, si se parte de , , y y se aplica la recursión de tetranacci, entonces para

Órdenes superiores Se han calculado los números pentanacci, hexanacci, heptanacci, octanacci y enneanacci.

Números de pentanacci 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ...

La constante de pentanacci es la razón hacia la cual tienden los números de pentanacci adyacentes.

Es la única raíz real del polinomio , aproximadamente , y también satisface la ecuación .

Números de hexanacci 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ?

La constante de hexanacci es la razón hacia la que tienden los números de hexanacci adyacentes.