Un tetraedro heroniano (también llamado tetraedro de Herón o pirámide perfecta) es un poliedro de cuatro caras triangulares cuyas longitudes de arista, áreas de cara y volumen son todos números enteros. Por lo tanto, todas las caras deben ser triángulos heronianos (nombrados así por Herón de Alejandría).
Todo tetraedro heroniano puede disponerse en el espacio euclídeo de manera que las coordenadas de sus vértices también sean números enteros.
Ejemplos Un ejemplo conocido es el tetraedro heroniano birrectangular descubierto por Leonhard Euler, con tres aristas paralelas a los tres ejes de coordenadas y con todas las caras siendo triángulos rectángulos. Las longitudes de las aristas paralelas a los ejes de coordenadas cartesianas son 153, 104 y 672, y las longitudes de las otras tres aristas son 185, 680 y 697, que delimitan cuatro caras con forma de triángulos rectángulos descritos por las ternas pitagóricas (153,104,185), (104,672,680), (153,680,697) y (185,672,697).
Ocho ejemplos de tetraedros de Herón fueron descubiertos en 1877 por Reinhold Hoppe.
La longitud mínima posible de la arista más larga de un tetraedro perfecto con longitudes de arista enteras es 117. Sus otras longitudes de arista son 51, 52, 53, 80 y 84. 8064 es el volumen mínimo posible (y 6384 es la superficie mínima posible) de un tetraedro perfecto. Las longitudes de arista enteras de un tetraedro de Herón con este volumen y área superficial son 25, 39, 56, 120, 153 y 160.
En 1943, E. P. Starke publicó otro ejemplo, en el que dos caras son triángulos isósceles con base 896 y lados 1073, y las otras dos caras también son isósceles con base 990 y los mismos lados. Sin embargo, Starke cometió un error al calcular el volumen, fallo que ha sido ampliamente difundido de forma inadvertida. El volumen correcto es , el doble del valor informado por Starke.
Sascha Kurz ha utilizado algoritmos de búsqueda computacional para encontrar todos los tetraedros de Herón con la longitud de arista más larga como máximo .
Clasificación, familias infinitas y tipos especiales de tetraedros Un tetraedro regular (uno con todas las caras equiláteras) no puede ser un tetraedro heroniano porque, para tetraedros regulares cuyas longitudes de arista son números enteros, las áreas de las caras y el volumen son números irracionales. Por la misma razón, ningún tetraedro de Herón puede tener un triángulo equilátero como una de sus caras.
Existen infinitos tetraedros de Herón, y aún más infinitos tetraedros heronianos disfenoides, en los que todas las caras son congruentes y cada par de lados opuestos tiene longitudes iguales. En este caso, solo se necesitan tres longitudes de arista para describir el tetraedro, en lugar de seis, y las ternas de longitudes que definen los tetraedros de Herón se pueden caracterizar mediante un curva elíptica. También existen infinitos tetraedros de Herón con un ciclo de cuatro longitudes de arista iguales, en los que todas las caras son triángulos isósceles.
También existen infinitos tetraedros heronianos birrectangulares. Un método para generar tetraedros de este tipo deriva las longitudes de las aristas paralelas a los ejes , y a partir de dos sumas de cuartas potencias iguales:
utilizando las fórmulas:
Por ejemplo, el tetraedro derivado de esta manera de una identidad de Euler, , tiene , y iguales a , y , con hipotenusa del triángulo rectángulo igual a , la hipotenusa del triángulo rectángulo igual a y la hipotenusa de los dos lados restantes igual a . Para estos tetraedros, , y forman las longitudes de arista de un cuboide casi perfecto, un cuboide rectangular en el que los lados, dos de las tres diagonales de las caras y la diagonal del cuerpo son todos números enteros.
Aún se desconoce una clasificación completa de todos los tetraedros de Herón.
Tetraedro trirrectangular de Herón No se ha encontrado ningún ejemplo de un tetraedro trirrectangular heroniano, pero nadie ha demostrado que no existan.
La existencia de una solución al problema del tetraedro trirrectangular de Herón es equivalente a la existencia de una solución al problema del ladrillo de Euler, y, a la inversa, la existencia de un cuboide perfecto implica la existencia de un tetraedro trirrectangular de Herón.Alexander Belogourov, On the Equivalence of the Perfect Cuboid and Heronian Trirectangular Tetrahedron Problems, https://www.academia.edu/83027639/On_the_Equivalence_of_the_Perfect_Cuboid_and_Heronian_Trirectangular_Tetrahedron_Problems Si existe un tetraedro trirrectangular de Herón con tres aristas ortogonales , entonces el cuboide con aristas tiene diagonales de caras enteras y una diagonal espacial entera, lo que lo convierte en un cuboide perfecto. Y viceversa, si existe un cuboide perfecto con aristas , entonces el tetraedro con aristas ortogonales enteras coincidentes en un vértice común es de Herón.
Figuras relacionadas Una definición alternativa de los triángulos heronianos es que se pueden formar uniendo dos triángulos rectángulos enteros por un lado común. Esta definición también se ha generalizado a tres dimensiones, dando lugar a una clase diferente de tetraedros que también se conocen como tetraedros de Herón.
Referencias ; see in particular page 14
, as cited by
, as cited by
(about a different concept with the same name)
Enlaces externos
Categoría:Tetraedros