La trigonometría de un tetraedro explica las relaciones entre las longitudes y los distintos tipos de ángulos de un tetraedro general.
Relaciones trigonométricas
Relaciones trigonométricas clásicas Las siguientes son las dimensiones trigonométricas generalmente asociadas a un tetraedro:
Las 6 longitudes de arista, asociadas a las seis aristas del tetraedro. Los 12 ángulos de sus caras, tres por cada una de las cuatro caras triangulares del tetraedro. Los 6 ángulos diedros, asociados a las seis aristas del tetraedro, ya que cualquier par de caras del tetraedro está conectado por una arista. Los 4 ángulos sólidos, asociados a cada vértice del tetraedro.
Sea un tetraedro general, donde son puntos arbitrarios en el espacio tridimensional.
Además, sea la arista que une y , y sea la cara del tetraedro opuesta al punto ; en otras palabras:
donde y .
Defínanse las siguientes cantidades:
= longitud de la arista = ángulo de la cara en el punto sobre la cara = ángulo diedro entre dos caras adyacentes a la arista = ángulo sólido en el punto
Área y volumen Sea el área de la cara . Dicha área se puede calcular mediante la fórmula de Herón (si se conocen las longitudes de las tres aristas):
o mediante la siguiente fórmula (si se conoce un ángulo y las dos aristas correspondientes):
Sea la altura desde el punto hasta la cara . El volumen del tetraedro viene dado por la siguiente fórmula:
Satisface la siguiente relación:
donde son las cuadraturas (longitudes al cuadrado) de las aristas.
Principios básicos de trigonometría
Triángulo afín Considérese la cara ; sus aristas tendrán longitudes y los ángulos opuestos correspondientes vienen dados por , para la que son de aplicación las leyes usuales de la trigonometría de un triángulo.
Triángulo proyectivo Considérese el triángulo proyectivo (esférico) al que pertenece . Los vértices de este triángulo proyectivo son las tres líneas que unen con los otros tres vértices del tetraedro. Las aristas tendrán longitudes esféricas y los respectivos ángulos esféricos opuestos vienen dados por .
Las leyes usuales de la trigonometría esférica se aplican a este triángulo proyectivo.
Leyes de la trigonometría para el tetraedro
Teorema de los senos alternos Considérese el tetraedro y el punto como un vértice. El teorema de los senos alternos viene dado por la siguiente identidad:
Los dos lados de esta identidad pueden interpretarse como correspondientes a las orientaciones de la superficie en sentido horario y antihorario.
El espacio de todas las formas de tetraedros
Si se sustituye cualquiera de los cuatro vértices por el símbolo O, se obtienen cuatro identidades de este tipo, pero como máximo tres de ellas son independientes. Si se multiplican los lados en sentido horario de tres de las cuatro identidades y se deduce que el producto es igual al producto de los lados en sentido antihorario de las mismas tres identidades, y luego se cancelan los factores comunes de ambos lados, el resultado es la cuarta identidad.
Tres ángulos son los ángulos de un triángulo sí y solo sí su suma es 180° (π radianes). ¿Qué condición es necesaria y suficiente para que 12 ángulos sean los de un tetraedro? Claramente, la suma de los ángulos de cualquier lado del tetraedro debe ser 180°. Dado que existen cuatro triángulos de este tipo, hay cuatro restricciones sobre la suma de los ángulos, y el número de grados de libertad se reduce de 12 a 8. Las cuatro relaciones dadas por la ley de los senos reducen aún más el número de grados de libertad, de 8 a 5, ya que la cuarta restricción no es independiente de las tres primeras. Por lo tanto, el espacio de todas las formas de tetraedros es pentadimensional.
Ley de los senos para el tetraedro
Ley de los cosenos para el tetraedro La ley de los cosenos para el tetraedro relaciona las áreas de cada cara del tetraedro con los ángulos diedros respecto a un punto. Se expresa mediante la siguiente identidad:
Relación entre los ángulos diedros del tetraedro Considérese el tetraedro general y proyéctense sus caras sobre el plano donde se encuentra la cara . Sea .
Entonces, el área de la cara viene dada por la suma de las áreas proyectadas, como sigue:
Sustituyendo por cada una de las cuatro caras del tetraedro, se obtiene el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales:
Este sistema homogéneo tendrá soluciones precisamente cuando:
Desarrollando este determinante, se obtiene la relación entre los ángulos diedros del tetraedro, como sigue:
Distancias oblicuas entre aristas del tetraedro Considérese el tetraedro general y sea el punto en la arista y el punto en la arista tales que el segmento de recta sea perpendicular a y . Sea la longitud del segmento de recta .
Para hallar :
Primero, se traza una línea que pase por y sea paralela a , y otra línea que pase por y sea paralela a . Sea la intersección de estas dos líneas. Se unen los puntos y . Por construcción, es un paralelogramo, por lo que y son triángulos congruentes. Así, los tetraedros y tienen el mismo volumen.
En consecuencia, la cantidad es igual a la altura desde el punto hasta la cara del tetraedro , lo que se demuestra mediante la traslación del segmento de recta .
Según la fórmula del volumen, el tetraedro satisface la siguiente relación: donde es el área del triángulo . Dado que la longitud del segmento de recta es igual a (ya que es un paralelogramo):
donde . Por lo tanto, la relación anterior se convierte en: . Para obtener , considérense dos triángulos esféricos: Tómese el triángulo esférico del tetraedro en el punto ; tendrá lados y ángulos opuestos . Por la ley esférica de los cosenos: Considérese el triángulo esférico del tetraedro en el punto . Los lados están dados por y el único ángulo opuesto conocido es el de , dado por . Por la ley esférica de los cosenos:
Combinando ambas ecuaciones se obtiene el siguiente resultado:
Despejando :
Así, utilizando la ley del coseno y trigonometría básica:
y por lo tanto:
Entonces:
y se obtienen mediante permutación de las longitudes de los lados.
Nótese que el denominador es una reformulación de la fórmula de Bretschneider-von Staudt, que calcula el área de un cuadrilátero convexo general.
Referencias
Categoría:Trigonometría esférica Categoría:Tetraedros