En matemáticas, el grupo de Picard de un espacio anillado X, denotado por Pic(X), es el grupo de clases de isomorfismos de haces invertibles (o haces de rectas) en X, con la operación de grupo siendo el producto tensorial. Esta construcción es una versión global de la construcción del grupo de clases de divisores, o grupo de clases de ideales, y se utiliza ampliamente en geometría algebraica y en la teoría de variedades complejas.
Alternativamente, el grupo de Picard puede definirse como el grupo de cohomología de haces
Para esquemas enteros, el grupo de Picard es isomorfo al grupo de clases de divisores de Cartier. Para variedades complejas, la sucesión de haces exponenciales proporciona información básica sobre el grupo de Picard.
El nombre rinde homenaje a las teorías de Charles Émile Picard, en particular a las de divisores en superficies algebraicas.
Ejemplos El grupo de Picard del espectro de un dominio de Dedekind es su grupo de clases de ideales. Los haces invertibles en el espacio proyectivo Pn(k) sobre el cuerpo k, son retorcidos, haces y , por lo que el grupo de Picard de Pn(k) es isomorfo a Z. El grupo de Picard de la recta afín con dos orígenes sobre k es isomorfo a Z. El grupo de Picard del espacio afín complejo -dimensional: . De hecho, la sucesión exponencial produce la siguiente secuencia exacta larga en cohomología:
y dado que Cohomología de haces con coeficientes constantes se tiene que porque es contraíble, entonces y se puede aplicar el isomorfismo de Dolbeault para calcular mediante el lema de Dolbeault-Grothendieck.
Esquema de Picard La construcción de una estructura de esquema en (la versión del functor representable del) grupo de Picard, el esquema de Picard, es un paso importante en la geometría algebraica, en particular en la teoría de la dualidad de las variedades abelianas. Fue construido por y también descrito por y .
En los casos más importantes para la geometría algebraica clásica, para una variedad completa no singular V sobre un cuerpo de característica cero, el componente conexo de la identidad en el esquema de Picard es una variedad abeliana llamada variedad de Picard y denotada como Pic0(V). El dual de la variedad de Picard es la variedad de Albanese, y en el caso particular en que V es una curva, la variedad de Picard es naturalmente isomorfo a la variedad jacobiana de V. Sin embargo, para cuerpos de característica positiva, Igusa construyó un ejemplo de una superficie proyectiva lisa S con Pic0(S) no reducida, y que por lo tanto no es una variedad abeliana.
El cociente Pic(V)/Pic0(V) es un grupo abeliano generado finitamente denotado por NS(V), el grupo de Néron-Severi de V. En otras palabras, el grupo de Picard se ajusta a una sucesión exacta
El hecho de que el rango de NS(V) sea finito es el teorema de la base de Francesco Severi; el rango es el número de Picard de V, a menudo denotado como ρ(V). Geométricamente, NS(V) describe las clases de equivalencia algebraica de divisores en V; es decir, al usar una relación de equivalencia no lineal más fuerte en lugar de la equivalencia lineal de divisores, la clasificación se vuelve susceptible a invariantes discretos. La equivalencia algebraica está estrechamente relacionada con la equivalencia numérica, una clasificación esencialmente topológica mediante números de intersección.
Esquema de Picard relativo Sea f: X → S un morfismo de esquemas. El functor de Picard relativo (o esquema de Picard relativo, si se trata de un esquema) viene dado por: para cualquier esquema T sobre S,
donde es el cambio de base de f y fT * es el retroceso.
Se dice que una L en tiene grado r si para cualquier punto geométrico s → T el retroceso de L a lo largo de s tiene grado r como haz invertible sobre la fibra Xs (cuando el grado está definido para el grupo de Picard de Xs).
Véase también Cohomología de haces Variedad de Chow Divisor de Cartier Haces de vectores holomorfos Grupo de clases de ideales Grupo de clases de Arakelov Pila de grupos Categoría de Picard
Referencias
Bibliografía
Categoría:Teoría de esquemas