En análisis numérico, el teorema del núcleo de Peano es un resultado general sobre cotas de error para una amplia clase de aproximaciones numéricas (como cuadraturas numéricas), definidas en términos de funcionales lineales. Se atribuye a Giuseppe Peano.
Enunciado Sea el espacio de todas las funciones que son diferenciables en y que son de clase acotada en , y sea un funcional lineal sobre . Supóngase que anula todos los polinomios de grado , es decir:
Supóngase además que, para cualquier función con , se cumple lo siguiente:
y defínase el núcleo de Peano de como:
utilizando la notación:
.
El teorema del núcleo de Peano establece que, si , entonces para toda función que sea veces diferenciable, se tiene que:
Cotas De este resultado se derivan varias cotas para el valor de :
donde , y son respectivamente la distancia del taxista, la distancia euclídea y la norma del supremo.
Aplicación En la práctica, la principal aplicación del teorema del núcleo de Peano es acotar el error de una aproximación que es exacta para todos los . El teorema anterior se deriva de la serie de Taylor para con resto en forma integral:
definiendo como el error de la aproximación, utilizando la linealidad de junto con la exactitud para para anular todos los términos del lado derecho excepto el último, y utilizando la notación para eliminar la dependencia de en los límites de integración.
Véase también Diferencias divididas
Referencias
Categoría:Análisis numérico Categoría:Teoremas de análisis matemático