Un coproducto de objetos en una categoría , es un objeto de , junto a una familia de morfismos () tal que para cualquier objeto y una familia de morfismos , existe un único morfismo tal que .
No hay una notación uniforme para los coproductos o sumas directas y algunas veces se denota .
Ejemplos
Consideremos un anillo R y la categoría de R-módulos por la izquierda. En este caso, la suma directa de una familia de R-módulos existe y es única. La construcción se puede hacer de la siguiente manera:
Sea una familia de R-módulos por la izquierda, entonces definimos y todos los son cero, excepto un número finito de ellos , y definimos como la inclusión de en la i-ésima coordenada de S.
Y definimos la suma de elementos en S, y el producto escalar, de un elemento R por uno de S de la siguiente manera, coordenada a coordenada:
Un caso particular de lo anterior es el caso en que R es cuerpo, es decir cuando estamos en la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado. En este caso, dado V espacio vectorial y W, U dos subespacios de V, tales que , podemos definir la suma directa interna, denotada , como el subespacio generado por W y U. No es difícil probar que este subespacio es isomorfo a la suma directa definida en el punto anterior.
Otro caso es la suma directa de grupos abelianos, ya que la categoría de grupos abelianos es equivalente a la categoría de -módulos.
Suma directa de espacios vectoriales Dados dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial , podemos definir la suma directa interna de , y diremos que y están en suma directa, si, y sólo si, para todo elemento existe una única pareja tal que . En este caso, escribiremos . En este caso se puede decir también que la suma es directa.
Dicho de otro modo, la suma de dos subespacios vectoriales y es directa si la descomposición de todo elemento de como suma de un elemento de y un elemento de es única.
Esta noción se puede generalizar a familias finitas de subespacios de . Diremos que están en suma directa si, y sólo si, para todo elemento de la suma , existe una única -tupla tal que .
En dimensión finita, tenemos la siguiente caracterización de que una familia de subespacios estén en suma directa:
En dimensión cualquiera, sólo son ciertos aquellos apartados donde no se utiliza que la dimensión sea finita para construir bases o hablar de la fórmula de Grassmann, es decir, en dimensión arbitraria, tenemos la siguiente caracterización:
Resultados clásicos relacionados con la suma directa Los siguientes resultados relacionados con la suma directa son clásicos:
Dados un espacio vectorial sobre un cuerpo de dimensión finita y un endomorfismo de con valores propios distintos dos a dos, si denotamos el espacio propio del valor propio , entonces . La demostración de esto se puede ver en el artículo sobre diagonalización. Dado un espacio vectorial sobre un cuerpo de dimensión finita, para cualquier subespacio , se tiene que , con el complemento ortogonal de . La demostración de esto se puede ver en el artículo sobre el complemento ortogonal. Dados un espacio vectorial sobre un cuerpo de dimensión finita, un endomorfismo de y un polinomio anulador de , i.e. , que descompone en factores irreducibles como , se tiene que . Por el teorema de Cayley-Hamilton este polinomio puede ser, por ejemplo, el polinomio característico de . Se puede demostrar que para cualquier polinomio, es un subespacio invariante por . Por tanto, el anterior teorema afirma que para cualquier endomorfismo de , podemos descomponer como suma directa de subespacios invariantes por . La demostración de todo esto se puede ver en el artículo sobre subespacios invariantes.
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